Demonstre por indução que:

7 | ( 3^(2 n + 1) + 2^(n + 2) ) ( n >= 1 )

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Vamos aplicar o nosso querido método da indução, quer dizer, vamos supor o menor número inteiro que pode ser n para provar que a proposição é verdadeira, bora!

Vamos começar supondo que n é 1 para descobrir se 7 é divisível com n = 1,

= ( 3^(2 n + 1) + 2^(n + 2) )

= 3^(2 ( 1 ) + 1) + 2^(1 + 2)

= 35

A proposição é verdadeira, pois 7|35 é verdadeiro

Passo 2

Dessa forma, vamos supor que se a proposição é verdadeira para um k qualquer, então 7 | ( 3^(2 k + 1) + 2^(k + 2) ) .

Portanto, se são divisíveis, podemos igualar e montar uma relação.

3^(2 k + 1) + 2^(k + 2) = 7 a c o m a in Z

Multiplicando ambos os lados por 3/3.

(3^(2 k + 1) + 2^(k + 2)) * (3)/(3) = 7 a * (3)/(3)

(3^((2 k + 1) + 1) * + 2^(k + 1) * 3) * (1)/(3) = 7 (a)

3^(2 (k + 1) - 1) + 2^((k + 1) - 1) = 7 (a)

Temos que 7 é divisível por 7 ( a ) então 7 é divisível também por 3^(2 (k + 1) - 1) + 2^((k + 1) - 1) .

Assim, está provado por indução que a proposição inicial é verdadeira.

Resposta

Demonstração