Enunciado

Demonstre por indução que:

7 | ( 3 2 n + 1 + 2 n + 2 ) ( n ≥ 1 )

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Vamos aplicar o nosso querido método da indução, quer dizer, vamos supor o menor número inteiro que pode ser n para provar que a proposição é verdadeira, bora!

Vamos começar supondo que n é 1 para descobrir se 7 é divisível com n = 1,

= ( 3 2 n + 1 + 2 n + 2 )

= 3 2 ( 1 ) + 1 + 2 1 + 2

= 35

A proposição é verdadeira, pois 7|35 é verdadeiro

Passo 2

Dessa forma, vamos supor que se a proposição é verdadeira para um k qualquer, então 7 | ( 3 2 k + 1 + 2 k + 2 ) .

Portanto, se são divisíveis, podemos igualar e montar uma relação.

3 2 k + 1 + 2 k + 2 = 7 a   c o m   a ∈ Z

Multiplicando ambos os lados por 3/3.

3 2 k + 1 + 2 k + 2 ⋅ 3 3   = 7 a ⋅ 3 3  

3 2 k + 1 + 1 ⋅ + 2 k + 1 ⋅ 3 ⋅ 1 3 = 7 a

3 2 k + 1 - 1 + 2 k + 1 - 1 = 7 a

Temos que 7 é divisível por 7 ( a ) então 7 é divisível também por 3 2 k + 1 - 1 + 2 k + 1 - 1 .

Assim, está provado por indução que a proposição inicial é verdadeira.

Resposta

Demonstração