Demonstre por indução que:

11 | ( 2^(2 n - 1) * 3^(n + 2) + 1 ) ( n >= 1 )

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Vamos aplicar o nosso querido método da indução, quer dizer, vamos supor o menor número inteiro que pode ser n para provar que a proposição é verdadeira, bora!

Vamos começar supondo que n é 1 para descobrir se 11 é divisível com n = 1,

= 2^(2 (1) - 1) * 3^(( 1 ) + 2) + 1

= 2^1 * 3^3 + 1

= 55

A proposição é verdadeira, pois 11|55 é verdadeiro

Passo 2

Dessa forma, vamos supor que se a proposição é verdadeira para um k qualquer, então 11 | ( 2^(2 k - 1) * 3^(k + 2) + 1 ) .

Portanto, se são divisíveis, podemos igualar e montar uma relação.

2^(2 k - 1) * 3^(k + 2) + 1 = 11 a c o m a in Z

Multiplicando ambos os lados por 2^2 * 3

( 2^(2 k - 1) * 3^(k + 2) + 1 ) * 2^2 * 3 = 11 a * 2^2 * 3

2^(2 k - 1) * 2^2 * 3^(k + 2) * 3 + 1 2 = 11 ( 12 a )

2^(2 k - 1 + 2) * 3^(k + 2 + 1) + 1 = 11 (12 a) - 11

2^(2 ( k + 1 ) - 1) * 3^(( k + 1 ) + 2) + 1 = 11 (12 a - 1)

Temos que 11 é divisível por 11 (12 a - 1) então 11 é divisível também por 2^(2 ( k + 1 ) - 1) * 3^(( k + 1 ) + 2) + 1 .

Assim, está provado por indução que a proposição inicial é verdadeira.

Resposta

Demonstração