Demonstre:
a) ≡ a (mod 6)
b) ≡ 0, 1 ou 8 (mod 9)
c) Se a é um inteiro que não é divisível por 2 nem por 3, então ≡ 1 (mod 24).
d) Se a é um cubo perfeito, então a ≡ 0, 1 ou −1 (mod 9).
Passo 1
Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!
- podemos reescrever no seguinte formato
- Esse é bem simples, ta lembrado das formas dos números inteiros? Não? Eu te mostro:
- Amigo estudante, se prepare porque nessa iremos longe, segura na minha mão e vamos.
- Este item já está solucionado no livro, vou tentar escrever de forma mais fácil para você.
Sendo assim, podemos provar o que se pede a partir da última equação.
Vamos reescrever ainda mais:
Ou seja, são três números consecutivos, então um dele é divisível por 3. Se por exemplo escolhermos (a - 1):
Logo, podemos reescrever:
e possuem paridade diferentes, então o produto entre eles resulta em um número par, que pode ser escrito como para .
Então, juntando tudo:
E 6 dividido por 6 tem resto 0, portanto comprovamos que:
Fé no pai que a resposta sai, seguimos fortes.
Passo 2
Todo número inteiro pode assumir a forma com .
Agora só precisamos fazer os cubos destes números e provar cada hipótese criada que estará demonstrado:
e está comprovada nossa primeira proposição.
e comprova-se a segunda proposição.
e está comprovada nossa última proposição, provando o item.
Seguimos.
Passo 3
Primeiro temos que lembrar que todo inteiro tem forma , mas vamos descartar 3k porque a não é divisível por 3 como foi avisado no enunciado.
Começando por , k deve ser par para que o número a seja impar e dessa forma não seja divisível por 2.
que é um número par.
Supondo então que :
Como k é par, então , e podemos substituir:
E agora vamos aplicar indução com para chegarmos na resposta:
Então supondo que essa proposição é verdadeira para , vamos provar que a proposição é válida para :
Adicionando um número que possa ser dividido por 24 com resto 0, , para aplicarmos um pouquinho de Matemágica:
Somando 1 ara se obter resto 1,
E está provada a proposição. Pode-se provar de forma análoga para .
Bastante longo, veja e reveja, vamos de item d!
Passo 4
Vamos tomar um .
Assumimos que os restos de b por 9 são 0, 1, 2, 3, 4, dessa forma, se , então .
Agora, como então . E está provado que se a é um cubo perfeito, sua divisão por 9 é -1, 0 ou 1.
Vamos para o próximo que você é guerreira(o) demais!!!!!
Resposta
Demonstração