Demonstre:

a) a 3 ≡ a (mod 6)

b) a 3 ≡ 0, 1 ou 8 (mod 9)

c) Se a é um inteiro que não é divisível por 2 nem por 3, então a 2 ≡ 1 (mod 24).

d) Se a é um cubo perfeito, então a ≡ 0, 1 ou −1 (mod 9).

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

  1. a 3 ≡ a   ( m o d   6 ) podemos reescrever no seguinte formato a 3 - a ≡ 0   ( m o d   6 )
  2. Sendo assim, podemos provar o que se pede a partir da última equação.

    Vamos reescrever ainda mais:

    a 3 - a = a - 1 a ( a + 1 )

    Ou seja, são três números consecutivos, então um dele é divisível por 3. Se por exemplo escolhermos (a - 1):

    a - 1 = 3 k   c o m   k ∈ Z

    Logo, podemos reescrever:

    a 3 - a a a + 1 = 3 k → a 3 - a = 3 k ⋅ a ⋅ a + 1

    a e a + 1 possuem paridade diferentes, então o produto entre eles resulta em um número par, que pode ser escrito como a ⋅ a + 1 = 2 t   para t ∈ Z .

    Então, juntando tudo:

    a 3 - a = 3 k ⋅ 2 t

    a 3 - a = 6 k t

    E 6 dividido por 6 tem resto 0, portanto comprovamos que:

    a 3 - a ≡ 0   m o d   6 ⇒ a 3 ≡ a   ( m o d   6 )

    Fé no pai que a resposta sai, seguimos fortes.

    Passo 2

  3. Esse é bem simples, ta lembrado das formas dos números inteiros? Não? Eu te mostro:
  4. Todo número inteiro pode assumir a forma 3 k ,   3 k + 1   o u   3 k + 2 com k ∈ Z .

    Agora só precisamos fazer os cubos destes números e provar cada hipótese criada que estará demonstrado:

    a 3 = 3 k 3 = 27 l 3 = 9 3 k 3 + 0 ⇒ a 3 = ( 3 k ) 3 ≡ 0   ( m o d   9 ) e está comprovada nossa primeira proposição.

    a 3 = 3 k + 1 3 = 9 3 k 3 + 3 k 2 + k + 1 ⇒ a 3 = ( 3 k + 1 ) 3 ≡ 1   ( m o d   9 ) e comprova-se a segunda proposição.

    a 3 = 3 k + 2 3 = 9 3 k 3 + 6 k 2 + 4 k + 8 ⇒ a 3 = ( 3 k + 2 ) 3 ≡ 8   ( m o d   9 ) e está comprovada nossa última proposição, provando o item.

    Seguimos.

    Passo 3

  5. Amigo estudante, se prepare porque nessa iremos longe, segura na minha mão e vamos.
  6. Primeiro temos que lembrar que todo inteiro tem forma 3 k ,   3 k + 1   o u   3 k + 2 , mas vamos descartar 3k porque a não é divisível por 3 como foi avisado no enunciado.

    Começando por a = 3 k + 1 , k deve ser par para que o número a seja impar e dessa forma não seja divisível por 2.

    a = 3 k + 1 ⇒ a = 3 2 q + 1 + 1 ⇒ a = 2 3 q + 2 que é um número par.

    Supondo então que a = 3 k + 1 :

    a 2 = 3 k + 1 2 = 9 k 2 + 6 k + 1

    Como k é par, então k = 2 q ,   q ∈ Z , e podemos substituir:

    a 2 = 9 2 q 2 + 6 2 q + 1

    a 2 = 36 q 2 + 12 q + 1 = 12 q 3 q + 1 + 1

    E agora vamos aplicar indução com q = 0 para chegarmos na resposta:

    q = 0 → a 2 = 12 0 3 ⋅ 0 + 1 + 1 = 1

    1 ≡ 1   m o d   24 ⇒ a 2 ≡ 1   m o d   24

    Então supondo que essa proposição é verdadeira para a = k , vamos provar que a proposição é válida para k + 1 :

    a 2 = 12 k 3 k + 1 + 1 ≡ 1   m o d   24

    12 k 3 k + 1 ≡ 0   m o d   24

    Adicionando um número que possa ser dividido por 24 com resto 0, 24 ( 3 k + 3 ) , para aplicarmos um pouquinho de Matemágica:

    12 k 3 k + 1 + 24 3 k + 3 ≡ 0   m o d   24

    ( 12 k + 1 ) 3 k + 1 + 1 ≡ 0   m o d   24

    Somando 1 ara se obter resto 1,

    12 k + 1 3 k + 1 + 1 + 1 ≡ 1   ( m o d   24 )

    a 2 ≡ 1   ( m o d   24 )

    E está provada a proposição. Pode-se provar de forma análoga para 3 k + 2 .

    Bastante longo, veja e reveja, vamos de item d!

    Passo 4

  7. Este item já está solucionado no livro, vou tentar escrever de forma mais fácil para você.

Vamos tomar um a = b 3 ,   b ∈ Z .

Assumimos que os restos de b por 9 são 0, 1, 2, 3, 4, dessa forma, se b ≡ 0 ,   ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4   ( m o d   9 ) , então b 3 ≡ 0 , ± 1 , ± 8 , ± 27 , ± 64   ( m o d   9 ) .

Agora, como ± 8 ≡ ∓ 1   m o d   9 ,   ± 27 ≡ 0   m o d   9   e   ± 64 ≡ ± 1   m o d   9 , então a = b 3 ≡ - 1 ,   0 ,   1   ( m o d   9 ) . E está provado que se a é um cubo perfeito, sua divisão por 9 é -1, 0 ou 1.

Vamos para o próximo que você é guerreira(o) demais!!!!!

Resposta

Demonstração