Demonstre a relação de Euler: Quaisquer que sejam os pontos e , . Como consequência, prove: Em um tetraedro, se é ortogonal a e é ortogonal a , então é ortogonal a .
Passo 1
Para demonstrar a relação de Euler, precisamos escrever todos os vetores em termos de apenas três vetores. Para isso, vamos escolher e . Então
Ok, agora vamos substituir isso nos seguintes produtos internos e depois somar tudo:
Agora somando tudo:
Passo 2
Vamos analisar as duas hipóteses: é ortogonal a e é ortogonal a . Então,
Então, a relação de Euler se torna:
Então, é ortogonal a .
Resposta
Veja a resolução acima.