Demonstre que as retas

⎧ x   = 3 + 2 α

  r   ⎢ y   = 1 + α

      ⎩ z   = - 3 - α

e

s { x - 4 3 = y - 2 2 = z + 3 - 1 são concorrentes, determinando seu ponto de interseção.

Escreva uma equação do plano que contém r e é perpendicular ao plano determinado pelas retas r e s .

Passo 1

E aí? Bora lá para mais uma resolução? Vamos!

A reta r já está na forma paramétrica, então só precisamos parametrizar s :

s { x - 4 3 = y - 2 2 = z + 3 - 1 = λ

⇒ s : x = 3 λ + 4 ,   y = 2 λ + 2 ,   z = - λ - 3

Quando as duas retas se interceptam, as coordenadas das duas devem ser iguais:

x : = 3 + 2 α = 3 λ + 4

y : 1 + α = 2 λ + 2

z : - 3 - α = - λ - 3

Passo 2

Somando as duas últimas equações, ficamos com

y + z : - 2 = λ - 1 ⇒ λ = - 1

Agora, substituindo λ = - 1 na primeira equação, obtemos

x : 3 + 2 α = 3 λ + 4 ⇒ 3 + 2 α = 1

⇒ 2 α = - 2

⇒ α = - 1

Não só mostramos que as duas retas se interceptam, porque encontramos um único valor de α e de λ que satisfaçam isso, mas também podemos encontrar esse valor. Usando α = - 1 na reta r , encontramos

    ⎧ x = 3 + 2 α = 1

  r   ⎢ y = 1 + α = 0

                    ⎩ z = - 3 - α = - 2

⇒ P = ( 1,0 , - 2 )

Passo 3

Vamos determinar o plano que contém as duas retas. Os vetores diretores das duas retas são v → r = ( 2,1 , - 1 ) e v → s = ( 3,2 , - 1 ) . Precisamos de mais um vetor para determinar o plano. Vamos escolher um ponto X = ( x , y , z ) no plano e o ponto de interseção entre as duas, P = ( 1,0 , - 2 ) , para obter esse vetor

P X → = X - P = ( x , y , z ) - ( 1,0 , - 2 ) = ( x - 1 , y , z + 2 )

Então, como esses vetores são l.d., devemos ter

⎢       x - 1                 y                   z + 2   ⎢

⎢                 2                         1               - 1             ⎢ = ( - 1 + 2 ) ( x - 1 ) - ( - 2 + 3 )   y + ( 4 - 3 ) (   z + 2 ) = 0

⎢                 3                         2               - 1             ⎢

⇒ x - 1 -   y +   z + 2 = 0

⇒ π : x - y + z + 1 = 0

Passo 4

Mas calma que esse ainda não é o plano que queremos. Nós queremos um plano perpendicular a π e que contém r . Então, já temos o vetor diretor de r , que é v → r = ( 2,1 , - 1 ) e o vetor normal do plano π , n → = ( 1 , - 1,1 ) . O último vetor é da forma

Q X → = Q - P = ( x , y , z ) - ( 1,0 , - 2 ) = ( x - 1 , y , z + 2 )

onde Q = ( x , y , z ) é um ponto do plano e P = ( 1,0 , - 2 ) é um ponto da reta r e, por isso, também pertence ao plano. Os três vetores devem ser l.d. Então,

⎢       x - 1                 y                   z + 2 ⎢

⎢               2                           1             - 1             ⎢ = ( 1 - 1 ) ( x - 1 ) - ( 2 + 1 )   y + ( - 2 - 1 ) (   z + 2 ) = 0

⎢               1             - 1                           1             ⎢

⇒ - 3   y - 3   z - 6 = 0

⇒ y +   z + 2 = 0

Pronto, galera! Conseguimos, uhuuu!

Resposta

( 1,0 , - 2 ) ;

y + z + 2 = 0 .