Demonstre que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual a sua metade.

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede para provarmos que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual a sua metade.

E para isso vamos ter que atribuir coordenadas genéricas aos vértices do triângulo.

Passo 2

Podemos provar ambos usando álgebra linear se liga só

Sabemos que, como M e N são os pontos médias dos lados AB e AC, então

A ⃑ M = 1 2 A ⃑ B

A ⃑ N = 1 2 A ⃑ C

Podemos notar também pela forma geométrica, que

A ⃑ N + N ⃑ M = A ⃑ M

Então,

N ⃑ M = A ⃑ M - A ⃑ N

Substituindo A ⃑ M = 1 2 A ⃑ B     e     A → N = 1 2 A ⃑ C , temos

N ⃑ M = A → M - A ⃑ N

N ⃑ M = 1 2 A ⃑ B - 1 2 A ⃑ C

N ⃑ M = 1 2 ( A ⃑ B - A ⃑ C )

Passo 3

Com isso, podemos ver que A ⃑ B - A ⃑ C = C → B assim concluímos que

N ⃑ M = 1 2 ( A ⃑ B - A ⃑ C )

N ⃑ M = 1 2 C ⃑ B

Por definição, N ⃑ M   e   C ⃑ B são vetores paralelos. Portanto as retas que contém esses vetores são paralelas, logo o segmento N ⃑ M e paralelo ao segmento C ⃑ B

Agora para provar a outra parte temos que,

N ⃑ M = 1 2 C ⃑ B

N ⃑ M = | | 1 2 C ⃑ B | |

N ⃑ M = 1 2   | | C ⃑ B | |

N ⃑ M = 1 2   | | C ⃑ B | |

Com isso, pela norma euclidiana de um vetor, temos que o vetor formado por N e M tem metade do tamanho do vetor formado por C e B, logo o segmento MN tem metade do comprimento do segmento BC, que é lado oposto aos lados AB e AC.

Resposta

Com isso, pela norma euclidiana de um vetor, temos que o vetor formado por N e M tem metade do tamanho do vetor formado por C e B, logo o segmento MN tem metade do comprimento do segmento BC, que é lado oposto aos lados AB e AC.