Demonstre: O segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual à sua semissoma.

Passo 1

O trapézio dessa questão fica mais ou menos assim:

Queremos calcular M N → , então

M N → = M A → + A B → + B N →

Como M é ponto médio de A D e N é ponto médio de B C , então

M A → = - A M → = - 1 2 A D →

B N → = 1 2 B C → = 1 2 ( B A → + A D → + D C → ) = 1 2 ( - A B → + A D → + D C → )

Então,

M N → = M A → + A B → + B N → = M N → = - 1 2 A D → + A B → + 1 2 ( - A B → + A D → + D C → ) = 1 2 A B → + 1 2 D C →

Logo, o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é igual à sua semissoma. Só falta mostrar que ele é paralelo às bases, que são A B → , A D → . As bases são paralelas entre si, de modo que A B → = α D C → . Assim,

M N → = 1 2 ( 1 + α ) D C →

Então, M N → é paralelo à base superior e, consequentemente, é paralelo à base inferior.

Resposta

Veja a resolução acima.