Denomina-se diferença simétrica entre dois conjuntos A e B e denota-se por A Δ B o seguinte conjunto: A Δ B = A - B ⋃ ( B - A ) . Isso posto:

  1. Ache a diferença simétrica entre os pares de conjuntos do exercício 11;
  2. Mostre que, qualquer que seja o conjunto A, valem A Δ ∅ = A e A Δ A = ∅ .
  3. Mostre que para quaisquer conjuntos A e B, vale A Δ B = B Δ A .

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Primeiro vamos relembrar algumas equações básicas da teoria dos conjuntos.

n A - B = n A - n A ⋂ B

n A ⋃ B = n A + n B - n A ⋂ B

n B - A = n B - n ( A ⋂ B )

Vamos encontrar as incógnitas necessárias para encontrar o B – A.

Passo 2

  1. Começando pela alternativa
  2. Passo 3

  3. Pela definição temos,

A Δ ∅ = A - ∅ ⋃ ∅ - A

Então, como representa o conjunto vazio, todos os elementos de A não estão presentes , ou seja, A - ∅ = A .

E, por definição, o conjunto vazio está contido no subconjunto A, ou seja, ∅ - A = ∅ .

Portanto, temos que A Δ ∅ = A .

Podemos pensar analogamente para A Δ A = A - A ⋃ A - A = ∅ .

Passo 3

  1. Sabemos que através da definição,

A Δ B = B Δ A

A - B ⋃ B - A = B - A ⋃ A - B

E sabemos também que na união, a regra que vale é a da comutatividade, ou seja, da reciprocidade!

Portanto, as operações são iguais.

Resposta

  1. Demonstração
  2. Demonstração