Enunciado

Denomina-se diferença simétrica entre dois conjuntos A e B e denota-se por A Δ B o seguinte conjunto: A Δ B = A - B ⋃ ( B - A ) . Isso posto:

  1. Ache a diferença simétrica entre os pares de conjuntos do exercício 11;
  2. Mostre que, qualquer que seja o conjunto A, valem A Δ ∅ = A e A Δ A = ∅ .
  3. Mostre que para quaisquer conjuntos A e B, vale A Δ B = B Δ A .

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

  1. Bora que vai ser um pouquinho longa essa daqui então vamos tentar não queimar o cérebro.
  2. Se atentem que precisamos descobrir A - B e B - A para todas as alternativas da questão 11.

    1. Sabemos do exercício que A - B = ∅ e B - A = Z , então
    2. A Δ B = A - B ⋃ B - A → A Δ B = ∅   ⋃   Z → A Δ B = Z

    3. É resolvido de forma análoga a alternativa anterior,
    4. A Δ B = A - B ⋃ B - A → A Δ B = ∅   ⋃   Z → A Δ B = Z

    5. Sabemos que não existe nenhum elemento de A que não esteja em B, portanto A - B = ∅ e B - A nós temos x para todo x maiores ou iguais a 5, vamos reescrever para deixar bonito então.
    6. A Δ B = A - B ⋃ B - A → A Δ B = ∅   ⋃   x x ≥ 5

      A Δ B = x x ≥ 5

    7. Do exercício 11 temos que A - B = 1 2 ; 3 4 ; 5 6 ; … e que não existe nenhum elemento de B que não esteja em A, portanto, B - A = ∅ .
    8. A Δ B = A - B ⋃ B - A → A Δ B = 1 2 ; 3 4 ; 5 6 ; … ⋃   ∅

      A Δ B = 1 2 ; 3 4 ; 5 6 ; …

    9. Do exercício 11 sabemos que os conjuntos se complementam, então A - B = A e B - A = B , portanto,

    A Δ B = A - B ⋃ B - A → A Δ B = A ⋃   B

    A Δ B = - ∞ ; - 1 ⋃ ( 1 ; 3 ) ⋃ 4 ; + ∞

    Passo 2

  3. Pela definição temos,

A Δ ∅ = A - ∅ ⋃ ∅ - A

Então, como representa o conjunto vazio, todos os elementos de A não estão presentes , ou seja, A - ∅ = A .

E, por definição, o conjunto vazio está contido no subconjunto A, ou seja, ∅ - A = ∅ .

Portanto, temos que A Δ ∅ = A .

Podemos pensar analogamente para A Δ A = A - A ⋃ A - A = ∅ .

Passo 2

  1. Sabemos que através da definição,

A Δ B = B Δ A

A - B ⋃ B - A = B - A ⋃ A - B

E sabemos também que na união, a regra que vale é a da comutatividade, ou seja, da reciprocidade!

Portanto, as operações são iguais.

Bora pro próximo!

Resposta

    1. A Δ B = Z
    2. A Δ B = Z
    3. A Δ B = x x ≥ 5
    4. A Δ B = 1 2 ; 3 4 ; 5 6 ; …
    5. A Δ B = - ∞ ; - 1 ⋃ ( 1 ; 3 ) ⋃ 4 ; + ∞
  1. Demonstração
  2. Demonstração