Enunciado

Descreva uma a uma todas as relações binárias sobre o conjunto E = {a, b}. Em seguida, identifique quais são reflexivas, quais são simétricas, quais são transitivas e quais são antissimétricas.

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Vamos no nosso querido passo a passo escrevendo em cada passo uma propriedade e identificando os conjuntos!

Aqui temos todas as relações binárias:

Ø ,   a ,   a ,   a ,   b ,   b ,   b ,   b ,   a ,   a ,   a , a ,   b ,   a ,   a , b ,   b ,

  a ,   a , b ,   a ,   a ,   b , b ,   b ,   a ,   b , b ,   a ,   b ,   b , b ,   a ,   a ,   a , a ,   b , b ,   b ,  

{ ( a ,   a ) , ( b ,   b ) , ( b ,   a ) } ,   { ( a ,   a ) , ( a ,   b ) , ( b ,   a ) } ,   { ( a ,   b ) , ( b ,   b ) , ( b ,   a ) } ,   E × E

Bora escrever!

Passo 2

Reflexivas são as taus que (x,y) que terminam em si mesmo:

  a ,   a , b ,   b , a ,   a , b ,   b ,   a ,   b , b ,   a ,

  a ,   a , a ,   b , b ,   a ,   a ,   b , b ,   b , b ,   a , E × E

Passo 3

Transitivas são as tais que x R y   e   y R z então x R z :

Ø ,   a ,   a , b ,   b ,   a ,   a , b ,   a , b ,   b , b ,   a ,   a ,   a , a ,   b , b ,   b ,

{ ( a ,   a ) , ( b ,   b ) , ( b ,   a ) } ,   { ( a ,   a ) , ( a ,   b ) , ( b ,   a ) } ,   { ( a ,   b ) , ( b ,   b ) , ( b ,   a ) } ,   E × E

Passo 4

Simétricas são as relações em que x R y   e n t ã o   y R x :

Ø ,   a ,   a , b ,   b a ,   b , b ,   a , { ( a ,   a ) , ( a ,   b ) , ( b ,   a ) } ,   { ( a ,   b ) , ( b ,   b ) , ( b ,   a ) } ,   E × E

Passo 5

Antissimétricas são as relações que x R y   e   y R x então x = y .

Ø ,   a ,   a ,   a ,   b ,   b ,   b ,   b ,   a ,   a ,   a , a ,   b ,   a ,   a , b ,   b ,

  a ,   a , b ,   a ,   a ,   b , b ,   b ,   b ,   b , b ,   a ,   a ,   a , a ,   b , b ,   b ,  

{ ( a ,   a ) , ( b ,   b ) , ( b ,   a ) } ,   E × E

Resposta

Reflexivas:

  a ,   a , a ,   b , b ,   b ,   b ,   a , a ,   a , b ,   b ,   a ,   b , b ,   a ,

  a ,   a , a ,   b , b ,   a ,   a ,   b , b ,   b , b ,   a , E × E

Transitivas:

Ø ,   a ,   a , b ,   b ,   a ,   a , b ,   a , b ,   b , b ,   a ,   a ,   a , a ,   b , b ,   b ,

{ ( a ,   a ) , ( b ,   b ) , ( b ,   a ) } ,   { ( a ,   a ) , ( a ,   b ) , ( b ,   a ) } ,   { ( a ,   b ) , ( b ,   b ) , ( b ,   a ) } ,   E × E

Simétricas:

Ø ,   a ,   a , b ,   b a ,   b , b ,   a , { ( a ,   a ) , ( a ,   b ) , ( b ,   a ) } ,   { ( a ,   b ) , ( b ,   b ) , ( b ,   a ) } ,   E × E

Antissimétricas:

Ø ,   a ,   a ,   a ,   b ,   b ,   b ,   b ,   a ,   a ,   a , a ,   b ,   a ,   a , b ,   b ,

  a ,   a , b ,   a ,   a ,   b , b ,   b ,   b ,   b , b ,   a ,   a ,   a , a ,   b , b ,   b ,  

{ ( a ,   a ) , ( b ,   b ) , ( b ,   a ) } ,   E × E