Desenhe um paralelogramo A B C D e marque sobre os lados os pontos: X tal que A X →   =   1 4 A D → e Y , ponto médio do lado D C . Sejam P a interseção de X Y ̄ e B D ̄ , A D →   =   a → , A B →   =   b → , X P →   = α X Y → e P D →   = β B D → .

  1. Olhando para a figura “chute” valores aproximados de α e β . Escreva esses valores.
  2. Agora calcule os valores de α e β .

Passo 1

O paralelogramo que queremos é mais ou menos assim:

  1. Nos é dado que X P →   = α X Y → e P D →   = β B D → ou seja, X P →   / / X Y → e P D →   / / B D → . Então, olhando para a figura, dá para esperar um valor de α   =   3 5 , pois podemos dividir o segmento X Y ̄ em 5 partes iguais e P está na terceira. Já, para β , temos β   = 1 3 , aproximadamente.
  2. Passo 2

  3. Agora, vamos realizar o chute no gol. Utilizaremos a matemática para ter certeza. Vamos lá:

Precisamos determinar α e β e temos que

X P →   = α X Y → e P D →   = β B D → .

Por outro lado, X P →   = X D   → +   D P → , mas D P →   =   - β B D → . Então,

X D →   - β B D → = α X Y →  

Vamos verificar os vetores que temos:

A X →   +   X D →   =   A D   →   ⇒   X D →   =   A D →   -   A X   →   =   a →   -   1 4 a   → =   3 4 a →

D B →   =   D A   → +   A B →   =   - a →   +   b →

Substituindo os valores, temos:

3 4 a →   - β (   a → - b →   ) = α X Y →

Agora, vamos fazer o mesmo para X Y → ,onde temos

X Y →   =   X D →   +   D Y →

Mas,

A X → + X D   →   =   A D →   ⇒   X D →   =   A D →   -   A X →   =   a →   - 1 4 a →   =   3 4 a →

Na questão é dado que Y é ponto médio do lado D C . Então, D Y →   =   1 2 D C → e, por ser uma paralelograma, temos que D C →   =   A B →   =   b → . Então,

X Y →   =   X D →   +   D Y →   = 3 4 a →   + 1 2 b →  

Agora, podemos igualar a última equação do passo anterior com essa acima:

3 4 a →   + β ( b →   -   a → ) = α ( 3 4 a →   + 1 2 b → )

Organizaremos melhor essa equação:

( 3 4   - β   -   3 4 α ) ⋅ a →   + (   β   - 1 2 α ) ⋅ b →   =   0  

Ou seja, como a → e b → não são nulos nem l.d., temos o seguinte sistema:

β   - 1 2 α = 0 ⇒ β   = 1 2 α

3 4   - β   -   3 4 α ⇒ 3 4   - 1 2 α -   3 4 α = 0 ⇒ 3 4   -   5 4 α = 0 ⇒   5 4 α = 3 4 ⇒ α = 3 5

Finalmente,

β   = 1 2 α = 1 2 ⋅ 3 5 = 3 10

Passo 2

Comparando a resposta do item b), vemos que acertamos o valor de α   =   3 5 e podemos verificar que β   =   3 10   ≈ 1 3 .

Resposta

α   =   3 5 e β   =   3 10