(a) Desenvolva f ( x ) em série de potência. (b) Use o teorema (11.40) para representar   f ’ ( x ) e ∫ 0 x f ( t )

f x =   1 1 - 3 x       x <   1 3

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos relembrando alguns detalhe sobre a teoria necessária para resolver nosso exercício.

Para desenvolver uma f ( x ) em série de potência basta lembra que:

f x =   a 0 + a 1 x +   a 2 x 2 +   a 3 x 3 … … … … a n x n

Além disso teremos que aplicar o teorema 11.40 do livro texto, lá temos que:

f ' x =   ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

∫ 0 x f t d t =   ∑ n = 1 ∞ a n n + 1 x n + 1

Já relembramos tudo, vamos atacar o problema então!

Nossa função é :

f x =   1 1 - 3 x       x <   1 3

∑ n = 1 ∞ ( ln ⁡ n ) n n n / 2  

Passo 2

Desenvolvendo em série de potência temos que:

f x =   1 1 - 3 x   = 1 + ( 3 x ) + ( 3 x ) ² + ( 3 x ) ³ … … . .   ( 3 x ) n

∑ n = 0 ∞ ( 3 ) n x n

Aplicando o teorema já revisado acima, vamos obter:

f ' x =   ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = f ' x =   ∑ n = 1 ∞ n ( 3 x ) n x n - 1

∫ 0 x f t d t =   ∑ n = 0 ∞ a n n + 1 x n + 1 =   ∑ n = 0 ∞ 3 n n + 1 x n + 1  

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

∑ n = 0 ∞ ( 3 ) n x n

∑ n = 1 ∞ n ( 3 x ) n x n - 1

∑ n = 0 ∞ 3 n n + 1 x n + 1