(a) Desenvolva f ( x ) em série de potência. (b) Use o teorema (11.40) para representar   f ’ ( x ) e ∫ 0 x f ( t )

f x =   1 1 + 5 x       x <   1 5

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos relembrando alguns detalhe sobre a teoria necessária para resolver nosso exercício.

Para desenvolver uma f ( x ) em série de potência basta lembra que:

f x =   a 0 + a 1 x +   a 2 x 2 +   a 3 x 3 … … … … a n x n

Além disso teremos que aplicar o teorema 11.40 do livro texto, lá temos que:

f ' x =   ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

∫ 0 x f t d t =   ∑ n = 1 ∞ a n n + 1 x n + 1

Já relembramos tudo, vamos atacar o problema então!

Nossa função é:

f x =   1 1 + 5 x       x <   1 5

Passo 2

Desenvolvendo em série de potência para a =   1   e   r =   - 5 x temos que:

f x =   1 1 + 5 x       = 1 + - 5 x + - 5 x 2 + - 5 x 3 … … . .   - 1 n 5 x n

∑ n = 0 ∞ - 1 n 5 x n x n  

Aplicando o teorema já revisado acima, vamos obter:

f ' x =   ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = f ' x =   ∑ n = 1 ∞ - 1 n 5 x n x n - 1

∫ 0 x f t d t =   ∑ n = 0 ∞ a n n + 1 x n + 1 =   ∑ n = 0 ∞ - 1 n 5 n n + 1 x n + 1  

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n 5 x n x n  

∑ n = 1 ∞ - 1 n 5 x n x n - 1

∑ n = 0 ∞ - 1 n 5 n n + 1 x n + 1