Enunciado

(a) Desenvolva f ( x ) em série de potência. (b) Use o teorema (11.40) para representar   f ’ ( x ) e ∫ 0 x f ( t )

f x =   1 2 + 7 x       x <   2 7

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos relembrando alguns detalhe sobre a teoria necessária para resolver nosso exercício.

Para desenvolver uma f ( x ) em série de potência basta lembra que:

f x =   a 0 + a 1 x +   a 2 x 2 +   a 3 x 3 … … … … a n x n

Além disso teremos que aplicar o teorema 11.40 do livro texto, lá temos que:

f ' x =   ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

∫ 0 x f t d t =   ∑ n = 1 ∞ a n n + 1 x n + 1

Já relembramos tudo, vamos atacar o problema então!

Nossa função é:

f x =   1 2 + 7 x       x <   2 7

Passo 2

Antes de começamos vamos tratar um pouco a função de forma a simplifica-la:

f x =   1 2 + 7 x     = 1 2 1 1 - ( - 7 2 x )

Agora nosso denominado está na forma 1 - r

Desenvolvendo em série de potência para a = 1 2   e   r =   - 7 2 x temos que:

f x =   1 2 + 7 x       = 1 2 [ 1 + - 7 2 x + - 7 2 x 2 + - 7 2 x 3 … … . .   - 1 n 7 2 x n ]

1 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 7 2 x n x n  

Aplicando o teorema já revisado acima, vamos obter:

f ' x =   ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = f ' x = 1 2 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 7 2 n x n - 1

∫ 0 x f t d t =   ∑ n = 0 ∞ a n n + 1 x n + 1 = 1 2   ∑ n = 0 ∞ - 1 n 7 n ( n + 1 ) 2 n x n + 1  

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

1 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 7 2 x n x n  

1 2 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 7 2 n x n - 1

1 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 7 n ( n + 1 ) 2 n x n + 1