Determine se:

a) (1,0 , 6) in < (1,0 , 1) , ( 1,2 , 1 ) >

b) (1 , - 2,1) in < (1,0 , 1) , ( 1,2 , 1 ) >

c) {(0,0 , 2,2) , (3,3 , 0,0) , (1,1 , 0 , - 1)} é LI

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Vamos para o exercício!!!

Primeiramente vamos relembrar dois conceitos:

1- Dados os vetores u , v_1 , ... , v_n , dizemos que u in < v_1 , ... , v_n > , se existem reais a_1 , ... , a_n tais que:

u = a_1 v_1 + ... + a_n v_n

2- Dados os vetores v_1 , ... , v_n , dizemos que { v_1 , ... , v_n } é um conjunto LI, se a equação:

a_1 v_1 + ... a_n v_n = 0

Implicar em a_1 = ... a_n = 0 , ou seja, a única solução para a nossa equação é a solução trivial.

Com esses conceitos em mente, vamos aos itens.

Passo 2

a) Para que tenhamos (1,0 , 6) in < (1,0 , 1) , ( 1,2 , 1 ) > , devem existir reais a e b tais que (1,0 , 6) = a (1,01) + b ( 1,2 , 1 ) , ou seja, o sistema abaixo deve possuir solução:

{[[a + b = 1],[2 b = 0],[a + b = 6]])

A segunda equação no fornece b = 0 , o que nos dá na primeira equação a = 1 e na última a = 6 , o que nos mostra que o sistema não possui solução.

Portanto, (1,0 , 6) !in < (1,0 , 1) , ( 1,2 , 1 ) > .

b) Para que tenhamos (1 , - 2,1) in < (1,0 , 1) , ( 1,2 , 1 ) > , devem existir rais a e b tais que (1 , - 2,1) = a (1,0 , 1) + b ( 1,2 , 1 ) , ou seja, o sistema abaixo deve possuir solução:

{[[a + b = 1],[2 b = - 2],[a + b = 1]])

A segunda equação nos oferece b = - 1 , donde concluímos pela primeira e pela terceira equação que a = 2 , ou seja, o sistema possui solução.

Portanto, podemos escrever (1 , - 2,1) = 2 (1,0 , 1) - 1 ( 1,2 , 1 ) , de modo que (1 , - 2,1) in < (1,0 , 1) , ( 1,2 , 1 ) > .

c) Para que {(0,0 , 2,2) , (3,3 , 0,0) , (1,1 , 0 , - 1)} seja LI, a única solução de a (0,0 , 2,2) + b (3,3 , 0,0) + c (1,1 , 0 , - 1) = ( 0,0 , 0,0 ) deve ser (a , b , c) = ( 0,0 , 0 ) , ou seja, o sistema linear abaixo deve possuir apenas a solução trivial:

{[[3 b + c = 0],[3 b + c = 0],[2 a = 0],[2 a - c = 0]])

A terceira equação nos oferece a = 0 , de modo que a quarta nos oferece c = 0 e finalmente a primeira e a segunda nos oferece b = 0 , ou seja, o sistema possui apenas a solução trivial.

Portanto, {(0,0 , 2,2) , (3,3 , 0,0) , (1,1 , 0 , - 1)} é LI.

Resposta

a) Falso.

b) Verdadeiro.

c) Verdadeiro.