Determine se é LI ou LD em P_3 :

{ x^2 - 2 x , 1 + x , x^2 + 2 }

Passo 1

Beleza, pessoal? Bora encarar mais um!!!

Dizemos que um conjunto de vetores { v_1 , ... , v_n } é LD, se existirem reais a_1 , ... , a_n , não todos nulos, tais que:

a_1 v_1 + ... a_n v_n = 0

Caso contrário (no caso em que apenas a_1 = ... = a_n = 0 satisfaz a equação) dizemos que o conjunto é LI.

Sabendo disso, vamos para a questão!!!

Passo 2

Temos que:

a (x^2 - 2 x) + b (1 + x) + c (x^2 + 2) = 0 =>

a x^2 - 2 a x + b + b x + c x^2 + 2 c = 0 =>

(a + c) x^2 + (- 2 a + b) x + (b + 2 c) = 0 =>

{[[a + c = 0],[- 2 a + b = 0],[b + 2 c = 0]])

A matriz ampliada desse sistema é dada por:

[[[1,0,1,|,0],[-,2,1,0,|,0],[0,1,2,|,0]]]

Escalonando-a, obtemos o seguinte:

[[[1,0,1,|,0],[0,1,2,|,0],[0,0,0,|,0]]]

Que nos oferece a solução a = - c e b = - 2 c na variável livre c , ou seja, temos infinitas soluções. Sendo assim, concluímos que o conjunto { x^2 - 2 x , 1 + x , x^2 + 2 } é LD.

Resposta

É LD.