Determine se é LI ou LD em P_3 :

{ x + 2 , x + 3 , x^2 - 3 }

Passo 1

Beleza, pessoal? Bora encarar mais um!!!

Dizemos que um conjunto de vetores { v_1 , ... , v_n } é LD, se existirem reais a_1 , ... , a_n , não todos nulos, tais que:

a_1 v_1 + ... a_n v_n = 0

Caso contrário (no caso em que apenas a_1 = ... = a_n = 0 satisfaz a equação) dizemos que o conjunto é LI.

Sabendo disso, vamos para a questão!!!

Passo 2

Temos que:

a (x + 2) + b (x + 3) + c (x^2 - 3) = 0 =>

a x + 2 a + b x + 3 b + c x^2 - 3 c = 0 =>

c x^2 + (a + b) x + (2 a + 3 b - 3 c) = 0 =>

{[[c = 0],[a + b = 0],[2 a + 3 b - 3 c = 0]])

A matriz ampliada do sistema é dada por:

[[[0,0,,,,1,|,0],[1,1,,,,0,|,0],[2,3,-,3,|,0]]]

Escalonando-a, obtemos o seguinte:

[[[1,0,0,|,0],[0,1,0,|,0],[0,0,1,|,0]]]

Portanto, a única solução do sistema é dada por a = 0 , b = 0 e c = 0 , donde concluímos que o conjunto { x + 2 , x + 3 , x^2 - 3 } é LI.

Resposta

É LI.