Determine se:

R^3 = < (2 , - 1,3) , (4,1 , 2) , (8 , - 1,8) , ( 6,0 , 5 ) >

Passo 1

E aí, pessoal, beleza? Vamos para o exercício!

Sabemos que o método para descobrir o número de vetores linearmente independentes dentro de um conjunto de vetores { v_1 , ... , v_m } do R^n é o seguinte:

1- Criamos uma matriz m xx n , em que cada linha i da matriz é formada pelo vetor v_i .

2- Escalonamos a matriz.

3- Contamos o número de linhas não nulas (posto) dessa matriz.

O resultado obtido corresponde ao número de vetores linearmente independentes do conjunto.

Sabemos também, que a partir de um conjunto gerador de determinado espaço vetorial V , podemos extrair uma base para V .

Tendo essa teoria em mente, vamos para a questão!!!

Passo 2

Para que o conjunto { (2 , - 1,3) , (4,1 , 2) , (8 , - 1,8) , (6,0 , 5) } gere R^3 , devemos poder extrair uma base de R^3 de dentro desse conjunto, ou seja, esse conjunto deve possuir 3 vetores Lis. Vamos verificar se isso realmente acontece. A matriz a qual as linhas correspondem aos nossos vetores é dada por:

[[[2,-,1,3],[4,1,2],[8,-,1,8],[6,0,5]]]

Escalonando-a, obtemos o seguinte:

[[[1,0,,,,,0.8333],[0,1,-,1.3333],[0,0,0],[0,0,0]]]

Ou seja, o conjunto { (2 , - 1,3) , (4,1 , 2) , (8 , - 1,8) , (6,0 , 5) } possui apenas dois vetores L I s , donde concluímos que ele não gera R^3 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)