Determine se:
é LI para .
Passo 1
E aí, gente, beleza? Vamos encarar mais um!!!
Dizemos que o conjunto é LI, se a equação:
Implicar em .
Sabendo disso, vamos para o exercício.
Passo 2
Temos que:
Consideramos três casos, um em que , um em que e outro em que :
Caso 1:
Com a matriz ampliada do nosso sistema é dada por:
Escalonando-a, obtemos o seguinte:
Que nos oferece a solução e . Ou seja, para temos que o conjunto é LI.
Caso 2:
Nesse caso temos que a matriz ampliada do sistema é dada por:
Escalonando-a, obtemos o seguinte:
Que nos oferece a solução e . Ou seja, para temos que o conjunto é LI.
Caso 3: :
Nesse caso temos que a matriz ampliada do sistema é dada por:
Vamos escalonar essa matriz:
Para que o sistema possua mais soluções do que apenas a solução trivial, uma das linhas da matriz escalonada deve ser nula. Para que a segunda linha seja nula devemos ter e , o que ocorre se, e somente se, . Já para que a última linha seja nula devemos ter = 0, o que ocorre se, e somente se, ou . Portanto, o sistema possui infinitas soluções nos casos em que ou . Ou seja, nesse caso temos que o conjunto é LD para e , e é LI para os outros valores de
Tendo analisado todos os casos, concluímos finalmente que: O conjunto é LI para todo real com e .
Resposta
O conjunto é LI para todo real com e .