Determine se:

{ (k , 1,1) , (1 , k , 1) , (1,1 , k) } é LI para k in R .

Passo 1

E aí, gente, beleza? Vamos encarar mais um!!!

Dizemos que o conjunto { v_1 , ... , v_n } é LI, se a equação:

a_1 v_1 + ... a_n v_n = 0

Implicar em a_1 = ... = a_n = 0 .

Sabendo disso, vamos para o exercício.

Passo 2

Temos que:

a (k , 1,1) + b (1 , k , 1) + c (1,1 , k) = 0 =>

(k a , a , a) + (b , k b , b) + (c , c , k c) = 0 =>

(k a + b + c , a + k b + c , a + b + k c) = 0 =>

{[[k a + b + c = 0],[a + k b + c = 0],[a + b + k c = 0]])

Consideramos três casos, um em que k = 0 , um em que k = - 1 e outro em que k in R , k != 0 , k != - 1 :

Caso 1: k = 0

Com k = 0 a matriz ampliada do nosso sistema é dada por:

[[[0,1,1,|,0],[1,0,1,|,0],[1,1,0,|,0]]]

Escalonando-a, obtemos o seguinte:

[[[1,0,0,|,0],[0,1,0,|,0],[0,0,1,|,0]]]

Que nos oferece a solução a = 0 , b = 0 e c = 0 . Ou seja, para k = 0 temos que o conjunto { (k , 1,1) , (1 , k , 1) , (1,1 , k) } é LI.

Caso 2: k = - 1

Nesse caso temos que a matriz ampliada do sistema é dada por:

[[[-,1,1,1,|,0],[1,-,1,1,|,0],[1,1,-,1,|,0]]]

Escalonando-a, obtemos o seguinte:

[[[1,0,0,|,0],[0,1,0,|,0],[0,0,1,|,0]]]

Que nos oferece a solução a = 0 , b = 0 e c = 0 . Ou seja, para k = - 1 temos que o conjunto { (k , 1,1) , (1 , k , 1) , (1,1 , k) } é LI.

Caso 3: k != 0 , k != - 1 :

Nesse caso temos que a matriz ampliada do sistema é dada por:

[[[k,1,1,|,0],[1,k,1,|,0],[1,1,k,|,0]]]

Vamos escalonar essa matriz:

[[[k,1,1,|,0],[1,k,1,|,0],[1,1,k,|,0]]] overset(l_2 = l_2 - (l_1)/(k))(->) [[[k,1,1,|,0],[0,(k^2 - 1)/(k),(k - 1)/(k),|,0],[1,1,k,|,0]]] overset(l_3 = l_3 - (l_1)/(k))(->) [[[k,1,1,|,0],[0,(k^2 - 1)/(k),(k - 1)/(k),|,0],[0,(k - 1)/(k),(k^2 - 1)/(k),|,0]]] overset(l 3 = l 3 - (l_2)/(k + 1))(->)

[[[k,1,1,|,0],[0,(k^2 - 1)/(k),(k - 1)/(k),|,0],[0,0,(( k - 1 ) ( k + 2 ))/(k + 1),|,0]]]

Para que o sistema possua mais soluções do que apenas a solução trivial, uma das linhas da matriz escalonada deve ser nula. Para que a segunda linha seja nula devemos ter (k^2 - 1)/(k) = ((k + 1) (k - 1))/(k) = 0 e (k - 1)/(k) = 0 , o que ocorre se, e somente se, k = 1 . Já para que a última linha seja nula devemos ter (( k - 1 ) ( k + 2 ))/(k + 1) = 0, o que ocorre se, e somente se, k = 1 ou k = - 2 . Portanto, o sistema possui infinitas soluções nos casos em que k = 1 ou k = - 2 . Ou seja, nesse caso temos que o conjunto { (k , 1,1) , (1 , k , 1) , (1,1 , k) } é LD para k = 1 e k = - 2 , e é LI para os outros valores de k .

Tendo analisado todos os casos, concluímos finalmente que: O conjunto { (k , 1,1) , (1 , k , 1) , (1,1 , k) } é LI para todo k real com k != 1 e k != - 2 .

Resposta

O conjunto { (k , 1,1) , (1 , k , 1) , (1,1 , k) } é LI para todo k real com k != 1 e k != - 2 .