Determine f^(- 1) (x)

f (x) = 2 - 3 x^2 ; x <= 0

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com funções inversas e antes de por as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão do que é essa tal “função inversa”.

Para que uma função admita uma inversa, ela precisa ser bijetora, ou seja, deve ser ao mesmo tempo injetora (todo elemento da imagem possui um único correspondente no domínio) e sobrejetora (não há nenhum elemento da imagem que não tenha um elemento do domínio associado a ele). A imagem abaixo ilustra o que acabamos ler

Definindo formalmente, seja f uma função bijetora com domínio D e contradomínio R . Se g é uma função com domínio R e contradomínio D , então g é inversa de f se e somente se as seguintes condições forem válidas:

(i) g (f (x)) = x p a r a t o d o x e m D

(i i) f (g (y)) = y p a r a t o d o y e m R

Passo 2

Compreendendo a definição de função inversa, vamos resolver a questão. Observe que a função dada pela questão é um polinômio de segundo grau, ou seja, apresenta duas raízes (valores em x ) para uma mesma imagem (valores em y ) o que intuitivamente vai contra o requisito discutido no Passo 1.

Entretanto, há uma restrição aos valores de x que também foi dada pelo enunciado, x <= 0 . Vamos observar o gráfico da função que foi plotado abaixo. Admitindo essa restrição, o gráfico será apenas os valores que vão do eixo Y para a esquerda. Dessa forma, a função assume a característica de uma função bijetora tornando possível o cálculo de sua inversa que tem como domínio ( - oo , 0 ] e imagem ( - oo , 2 ] .

Ficou clara a mudança gerada pela restrição!? Show de bola, vamos prosseguir.

Primeiro passo é inverter as incógnitas x e y na equação. Sabendo que f (x) = 2 - 3 x^2 , temos que

y = 2 - 3 x^2

Invertendo as incógnitas

x = 2 - 3 y^2

Agora, vamos isolar a variável y

3 y^2 = 2 - x

3 y = +- sqrt(2 - x)

y = +- (sqrt(2 - x))/(3)

Devido a restrição de que x <= 0 , a raiz não pode ter valor positivo, portanto

f^(- 1) (x) = - (sqrt(2 - x))/(3)

Até a próxima!! =]

Resposta

f^(- 1) ( x ) = - (sqrt(2 - x))/(3)