Determine f^(- 1) (x)

f (x) = (x^3 + 1)^5

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com funções inversas e antes de por as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão do que é essa tal “função inversa”.

Para que uma função admita uma inversa, ela precisa ser bijetora, ou seja, deve ser ao mesmo tempo injetora (todo elemento da imagem possui um único correspondente no domínio) e sobrejetora (não há nenhum elemento da imagem que não tenha um elemento do domínio associado a ele). A imagem abaixo ilustra o que acabamos ler

Definindo formalmente, seja f uma função bijetora com domínio D e contradomínio R . Se g é uma função com domínio R e contradomínio D , então g é inversa de f se e somente se as seguintes condições forem válidas:

(i) g (f (x)) = x p a r a t o d o x e m D

(i i) f (g (y)) = y p a r a t o d o y e m R

Passo 2

Compreendendo a definição de função inversa, vamos resolver a questão.

À primeira vista, ficamos com uma leve suspeita de que a função pode ter duas ou mais raízes (valores em x ) para uma resposta (valores em y ). Uma forma de verificar é plotando o gráfico da função, como mostra o gráfico abaixo, para tirar toda e qualquer suspeita.

Observe que a curva não cruza duas vezes o eixo X e nem o eixo Y , logo a função é bijetora e possui inversa com domínio ( - oo , oo ) e imagem ( - oo , oo ) .

Agora que as dúvidas caíram por terra, vamos prosseguir =]

Primeiro passo é inverter as incógnitas x e y na equação. Sabendo que f (x) = (x^3 + 1)^5 , temos que

y = (x^3 + 1)^5

Invertendo as incógnitas

x = (y^3 + 1)^5

Agora, vamos isolar a variável y

root(5)(x) = y^3 + 1

y^3 = root(5)(x) - 1

y = root(3)(root(5)(x) - 1)

Portanto

f^(- 1) ( x ) = root(3)(root(5)(x) - 1)

Até a próxima!! =]

Resposta

f^(- 1) ( x ) = root(3)(root(5)(x) - 1)