1. Determine ( f + g ) ( x ) , ( f - g ) ( x ) , ( f g ) ( x ) e ( f // g ) ( x ) .
  2. Determine o domínio de f + g , f - g , f g e f // g .

f (x) = sqrt(3 - 2 x)

g (x) = sqrt(x + 4)

Passo 1

Olá, tudo bem com você? Espero que sim! Vamos começar esta questão fazendo o que se pede de forma bem devagar e explicada de modo que possamos passar por ela sem nenhuma dúvida. Sendo assim, vamos lá!

Passo 2

a)

(f + g) (x) = f (x) + g (x) = sqrt(3 - 2 x) + sqrt(x + 4)

:. (f + g) (x) = sqrt(3 - 2 x) + sqrt(x + 4)

(f - g) (x) = f (x) - g (x) = sqrt(3 - 2 x) - sqrt(x + 4)

:. (f - g) (x) = sqrt(3 - 2 x) - sqrt(x + 4)

(f g) (x) = f (x) * g (x) = sqrt(3 - 2 x) * sqrt(x + 4) = sqrt((3 - 2 x) (x + 4))

= sqrt(3 x + 12 - 2 x^2 - 8 x)

:. (f g) (x) = sqrt(- 2 x^2 - 5 x + 12)

(f // g) (x) = (f ( x ))/(g ( x )) = (sqrt(3 - 2 x))/(sqrt(x + 4)) = (sqrt(3 - 2 x))/(sqrt(x + 4)) * (sqrt(x + 4))/(sqrt(x + 4)) = (sqrt((3 - 2 x) (x + 4)))/(x + 4)

= (sqrt(3 x + 12 - 2 x^2 - 8 x))/(x + 4)

:. (f // g) (x) = (sqrt(- 2 x^2 - 5 x + 12))/(x + 4)

Passo 3

b) Para encontrarmos os domínios, vamos ter que analisar cada caso porque temos situações bem diferentes.

Vamos começar com o caso ( f + g ) ( x ) :

Nesta situação temos que analisar o domínio de cada raiz separadamente. Para a primeira, sqrt(3 - 2 x) , temos que

3 - 2 x >= 0 => 2 x <= 3 => x <= (2)/(3)

E para a segunda raiz, sqrt(x + 4) , temos:

x + 4 >= 0 => x >= - 4

O domínio será a interseção dos dois domínios.

D_1 = [- 4 , (2)/(3)]

Para o caso ( f - g ) ( x ) :

A situação é a mesma da anterior. Assim,

D_2 = [- 4 , (2)/(3)]

Para o caso ( f g ) ( x ) :

Temos que o termo dentro da raiz tem que ser maior que zero. Assim:

- 2 x^2 - 5 x + 12 >= 0 => (x - (3)/(2)) (x + 4) >= 0

Essa equação fica positiva quando x < - 3 // 2 e x > - 4 . Assim

D_3 = [- 4 , - (3)/(2)]

Para o caso ( f // g ) ( x ) :

Ele será semelhante ao anterior, com a diferença que o ponto em que o denominador se anula deve ser desconsiderado, ou seja, em x = 4 , teremos uma “bola aberta”. Logo

D_4 = [- 4 , - (3)/(2))

Resposta

a)

(f + g) (x) = sqrt(3 - 2 x) + sqrt(x + 4)

(f - g) (x) = sqrt(3 - 2 x) - sqrt(x + 4)

(f g) (x) = sqrt(- 2 x^2 - 5 x + 12)

(f // g) (x) = (sqrt(- 2 x^2 - 5 x + 12))/(x + 4)

b)

D_1 = [- 4 , (2)/(3)]

D_2 = [- 4 , (2)/(3)]

D_3 = [- 4 , - (3)/(2)]

D_4 = [- 4 , - (3)/(2))