Enunciado

  1. Determine ( f + g ) ( x ) , ( f - g ) ( x ) , ( f g ) ( x ) e ( f // g ) ( x ) .
  2. Determine o domínio de f + g , f - g , f g e f // g .

f (x) = (x)/(x - 2)

g (x) = (3 x)/(x + 4)

Passo 1

Olá, tudo bem com você? Espero que sim! Vamos começar esta questão fazendo o que se pede de forma bem devagar e explicada de modo que possamos passar por ela sem nenhuma dúvida. Sendo assim, vamos lá!

Passo 2

a)

(f + g) (x) = f (x) + g (x) = (x)/(x - 2) + (3 x)/(x + 4) = (x (x + 4) + 3 x (x - 2))/((x - 2) (x + 4))

= (x^2 + 4 x + 3 x^2 - 6 x)/((x - 2) (x + 4)) :. (f + g) (x) = (4 x^2 - 2 x)/((x - 2) (x + 4))

(f - g) (x) = f (x) - g (x) = (x)/(x - 2) - (3 x)/(x + 4) = (x (x + 4) - 3 x (x - 2))/((x - 2) (x + 4))

= (x^2 + 4 x - 3 x^2 + 6 x)/((x - 2) (x + 4)) :. (f - g) (x) = (- 2 x^2 + 10 x)/((x - 2) (x + 4))

(f g) (x) = f (x) * g (x) = (x)/(x - 2) * (3 x)/(x + 4)

:. (f g) (x) = (3 x^2)/(( x - 2 ) ( x + 4 ))

(f // g) (x) = (f ( x ))/(g ( x )) = ((x)/(x - 2))/((3 x)/(x + 4)) = (x)/(x - 2) * (x + 4)/(3 x) = (x ( x + 4 ))/(x ( 3 x - 6 ))

:. (f // g) (x) = (x + 4)/(3 x - 6)

Passo 3

b) Se observarmos o padrão de respostas da letra a), vamos perceber que as 3 primeiras operações possuem o mesmo denominador. Sendo assim, ao analisarmos esse denominador, vamos encontrar os 3 domínios “de bandeja”. Então, vamos lá:

Observe que deixamos o denominador na forma de produto porque isso já nos dá as raízes dele. E essas raízes são x = 2 e x = - 4 . Como esses valores não podem fazer parte do domínio porque eles anulariam o denominador, temos então que o domínio é composto pelos reais com exceção desses dois números. Logo,

D_1 = D_2 = D_3 = R - { - 4 , 2 }

O domínio da última operação é feito de maneira semelhante, mas observe que o denominador é mais simples, 3 x - 6 . Assim:

3 x - 6 != 0 => 3 x != 6 => x != (6)/(3) => x != 2

Logo

D_4 = R - { 2 }

Uma observação útil a ser feita é que é bastante comum nesse tipo de questão se usar uma notação de intervalos. Optamos por essa porque é mais compacta.

Show! Terminamos por ora!

Resposta

a)

(f + g) (x) = (4 x^2 - 2 x)/((x - 2) (x + 4))

(f - g) (x) = (- 2 x^2 + 10 x)/((x - 2) (x + 4))

(f g) (x) = (3 x^2)/((x - 2) (x + 4))

(f // g) (x) = (x + 4)/(3 x - 6)

b)

D_1 = D_2 = D_3 = R - {- 4 , 2}

D_4 = R - { 2 }