1. Determine ( f + g ) ( x ) , ( f - g ) ( x ) , ( f g ) ( x ) e ( f // g ) ( x ) .
  2. Determine o domínio de f + g , f - g , f g e f // g .

f (x) = (2 x)/(x - 4)

g (x) = (x)/(x + 5)

Passo 1

Olá, tudo bem com você? Espero que sim! Vamos começar esta questão fazendo o que se pede de forma bem devagar e explicada de modo que possamos passar por ela sem nenhuma dúvida. Sendo assim, vamos lá!

Passo 2

a)

(f + g) (x) = f (x) + g (x) = (2 x)/(x - 4) + (x)/(x + 5) = (2 x (x + 5) + x (x - 4))/((x - 4) (x + 5))

= (2 x^2 + 10 x + x^2 - 4 x)/((x - 4) (x + 5)) :. (f + g) (x) = (3 x^2 + 6 x)/((x - 4) (x + 5))

(f - g) (x) = f (x) - g (x) = (2 x)/(x - 4) - (x)/(x + 5) = (2 x (x + 5) - x (x - 4))/((x - 4) (x + 5))

= (2 x^2 + 10 x - x^2 + 4 x)/((x - 4) (x + 5)) :. (f - g) (x) = (x^2 + 14 x)/((x - 4) (x + 5))

(f g) (x) = f (x) * g (x) = (2 x)/(x - 4) * (x)/(x + 5)

:. (f g) (x) = (2 x^2)/(( x - 4 ) ( x + 5 ))

(f // g) (x) = (f ( x ))/(g ( x )) = ((2 x)/(x - 4))/((x)/(x + 5)) = (2 x)/(x - 4) * (x + 5)/(x) = (x ( 2 x + 10 ))/(x ( x - 4 ))

:. (f // g) (x) = (2 x + 10)/(x - 4)

Passo 3

b) Se observarmos o padrão de respostas da letra a), vamos perceber que as 3 primeiras operações possuem o mesmo denominador. Sendo assim, ao analisarmos esse denominador, vamos encontrar os 3 domínios “de bandeja”. Então, vamos lá:

Observe que deixamos o denominador na forma de produto porque isso já nos dá as raízes dele. E essas raízes são x = 4 e x = - 5 . Como esses valores não podem fazer parte do domínio porque eles anulariam o denominador, temos então que o domínio é composto pelos reais com exceção desses dois números. Logo,

D_1 = D_2 = D_3 = R - { - 5,4 }

O domínio da última operação é feito de maneira semelhante, mas observe que o denominador é mais simples, x - 4 . Logo

D_4 = R - { 4 }

Uma observação útil a ser feita é que é bastante comum nesse tipo de questão se usar uma notação de intervalos. Optamos por essa porque é mais compacta.

Show! Terminamos por ora!

Resposta

a)

(f + g) (x) = (3 x^2 + 6 x)/((x - 4) (x + 5))

(f - g) (x) = (x^2 + 14 x)/((x - 4) (x + 5))

(f g) (x) = (2 x^2)/((x - 4) (x + 5))

(f // g) (x) = (2 x + 10)/(x - 4)

b)

D_1 = D_2 = D_3 = R - {- 5,4}

D_4 = R - { 4 }