Determine o ângulo formado pelos vetores u → e v → , sabendo que 3 | u → | = 3 | v → | = | u → + v → | .

Passo 1

O ângulo formado por u → e v → é dado pela fórmula:

c o s   θ = u → ⋅ v → | u → | | v → |

Por enquanto, sabemos que 3 | u → | = 3 | v → | = | u → + v → | , ou seja, | u → | = | v → | e | u → + v → | 2 = 3 | u → | 2 . Por outro lado,

| u → + v → | 2 = ( u → + v → ) ⋅ ( u → + v → ) = u → ⋅ u → + 2 u → ⋅ v → + v → ⋅ v → = | u → | 2 + 2 u → ⋅ v → + | v → | 2

| u → + v → | 2 = 2 | u → | 2 + 2 u → ⋅ v →

Comparando as duas expressões para | u → + v → | 2 , obtemos

2 | u → | 2 + 2 u → ⋅ v → = 3 | u → | 2 ⇒ u → ⋅ v → = 1 2 | u → | 2

Agora, podemos retornar à fórmula do ângulo:

c o s   θ = u → ⋅ v → | u → | | v → | = u → ⋅ v → | u → | 2 = | u → | 2 2 | u → | 2 = 1 2 ⇒ θ = a r c c o s ( 0,5 ) = 60 º

Isso é tudo, pessoal!

Resposta

θ = 60 º