Determine os ângulos agudos que a reta definida pelos pontos A ( 1 , - 3 ,   2 )   e   B ( 3 , - 9 ,   6 )   faz com os eixos do sistema de coordenadas.

Passo 1

Vamos começar determinando um vetor pertencente à reta definida pelos pontos A ( 1 , - 3 ,   2 )   e   B ( 3 , - 9 ,   6 )   e um vetor pertencente a cada um dos eixos do sistema de coordenadas:

Lembrando que um vetor   v de uma reta definida por dois pontos A ( a , b , c )   e   B ( x , y , z )   é dado por v = ( x - a , y - b , z - c ) .

Então, um vetor pertencente à reta dada será: v = ( 3 - 1 , - 9 - ( - 3 ) , 6 - 2 ) = ( 2 , - 6,4 ) .

Para o eixo x podemos determinar um vetor a partir de dois pontos quaisquer pertencentes a ele, a fim de ajudar nos cálculos vamos levar em conta os pontos ( 0,0 , 0 )   e   ( 1,0 , 0 ) .  

Então o vetor será: w = ( 1 - 0,0 - 0,0 - 0 ) = ( 1,0 , 0 ) .

Já para o eixo y podemos determinar um vetor a partir de dois pontos quaisquer pertencentes a ele, a fim de ajudar nos cálculos vamos levar em conta os pontos ( 0,0 , 0 )   e   ( 0,1 , 0 ) .  

Então o vetor será: u = ( 0 - 0,1 - 0,0 - 0 ) = ( 0,1 , 0 ) .

Já para o eixo z podemos determinar um vetor a partir de dois pontos quaisquer pertencentes a ele, a fim de ajudar nos cálculos vamos levar em conta os pontos ( 0,0 , 0 )   e   ( 0,0 , 1 ) .  

Então o vetor será: r = ( 0 - 0,0 - 0,1 - 0 ) = ( 0,0 , 1 ) .

Passo 2

E para calcular o ângulo entre esses vetores? O ângulo θ definido por dois vetores u   e   v é dado por θ = a r c c o s ( u . v | | u | | . | | v | | ) e esse ângulo é justamente o ângulo entre as retas as quais esses vetores pertencem.

Passo 3

Então, o ângulo entre v   e   w ( o mesmo ângulo entre a reta e o eixo x) será:

θ = a r c c o s ( v . w | | v | | . | | w | | ) = a r c c o s ( ( 2.1 + ( - 6 ) . 0 + 4.0 ) 2 2 + ( - 6 ) 2 + 4 2 . 1 2 + 0 2 + 0 2 ) =

= a r c c o s ( 2 56 . 1 ) = a r c c o s ( 2 2 14 ) = a r c c o s ( 14 14 ) = 74,5 °

Da mesma maneira, temos o ângulo entre v   e   u (o mesmo ângulo entre a reta e o eixo y) :

α = a r c c o s ( v . u | | v | | . | | u | | ) = a r c c o s ( ( 2.0 + ( - 6 ) . 1 + 4.0 ) 2 2 + ( - 6 ) 2 + 4 2 . 0 2 + 1 2 + 0 2 ) =

= a r c c o s ( - 6 56 . 1 ) = a r c c o s ( - 6 2 14 ) = a r c c o s ( - 3 14 14 ) = 143,3 °

Mas, como queremos o ângulo agudo, vamos considerar o suplementar desse ângulo: 180 ° - 143,3 ° = 36,7 °

Finalmente, o ângulo entre v   e   r ( o mesmo ângulo entre a reta e o eixo z) :

β = a r c c o s ( v . r | | v | | . | | r | | ) = a r c c o s ( ( 2.0 + ( - 6 ) . 0 + 4.1 ) 2 2 + ( - 6 ) 2 + 4 2 . 0 2 + 0 2 + 1 2 ) =

= a r c c o s ( 4 56 . 1 ) = a r c c o s ( 4 2 14 ) = a r c c o s ( 2 14 14 ) = a r c c o s ( 14 7 ) = 57,69 °

Resposta

74,5 °   c o m   o   e i x o   x ,   36,7 °   c o m   o   e i x o   y   e   57,69 °   c o m   o   e i x o   z .