Determine os autovalores e a dimensão de N u c ( T ) , N u c ( T + I ) , N u c ( T - I ) se:

T : R 2 → R 2 uma projeção ortogonal numa reta passando pela origem.

Passo 1

E aí, galera, tudo certo? Vamos para a questão.

Sabemos que a projeção ortogonal sobre um espaço vetorial V possui dois autovalores: o autovalor 1 , que possui como autoespaço o próprio V , e o autovalor 0 , que possui como autoespaço o conjunto V ⊥ . Sendo assim, a nossa transformação T possui os autovalores 1 e 0 , os quais os autoespaços são a própria reta e uma reta perpendicular a esta, respectivamente.

Passo 2

O N u c ( T ) é o autoespaço de T associado ao autovalor 0 , ou seja, é uma reta perpendicular a reta sobre a qual é feita a projeção. Sendo assim, dim ⁡ N u c T = 1 .

O N u c ( T + I ) é composto por vetores v , tais que:

T + I v = 0 ⇒ T v + v = 0 ⇒ T v = - v ⇒ T v = - 1 v

Ou seja, N u c ( T - I ) é o autoespaço associado ao autovalor - 1 . Como vimos no passo 1, T não possui autovalor - 1 , donde concluímos que dim ⁡ N u c T + I = 0 .

O N u c ( T - I ) é composto por vetores v , tais que:

T - I v = 0 ⇒ T v - v = 0 ⇒ T v = v ⇒ T v = ( 1 ) v

Ou seja, N u c ( T - I ) é o autoespaço associado ao autovalor 1 . Pelo que vimos no Passo 1, esse autoespaço é a própria reta sobre a qual estamos fazendo a projeção, ou seja, dim ⁡ N u c T - I = 1 .

Resposta

Os autovalores de T são 1 e 0 .

dim ⁡ N u c T = 1 , dim ⁡ N u c T + I = 0 , dim ⁡ N u c T - I = 1 .