Determine os autovalores e a dimensão de , , se:
uma projeção ortogonal numa reta passando pela origem.
Passo 1
E aí, galera, tudo certo? Vamos para a questão.
Sabemos que a projeção ortogonal sobre um espaço vetorial possui dois autovalores: o autovalor , que possui como autoespaço o próprio , e o autovalor , que possui como autoespaço o conjunto . Sendo assim, a nossa transformação possui os autovalores e , os quais os autoespaços são a própria reta e uma reta perpendicular a esta, respectivamente.
Passo 2
O é o autoespaço de associado ao autovalor , ou seja, é uma reta perpendicular a reta sobre a qual é feita a projeção. Sendo assim, .
O é composto por vetores , tais que:
Ou seja, é o autoespaço associado ao autovalor . Como vimos no passo 1, não possui autovalor , donde concluímos que .
O é composto por vetores , tais que:
Ou seja, é o autoespaço associado ao autovalor . Pelo que vimos no Passo 1, esse autoespaço é a própria reta sobre a qual estamos fazendo a projeção, ou seja, .
Resposta
Os autovalores de são e .
.