Determine os autovalores e a dimensão de Nuc(T), Nuc(T + I), Nuc(T − I) se:

(a) T : R 3 → R 3 uma projeção ortogonal num plano passando pela origem

Passo 1

a) Vamos apelar nessa questão e responder no modo macete do Responde Aí, então pode puxar aquela carta de...

O segredinho é que toda vez, sempre, com certeza, quando tiver uma projeção ortogonal, você deve considerar os autovalores vão ser 0 e 1, ou seja, cê nem precisou fazer um tanto de cálculo, então é só lembrar dessa informação hein!!

Passo 2

O segundo passo é determinar a dimensão do núcleo, para isso, vamos utilizar o Teorema do Núcleo e da Imagem que diz que:

Dim(Nuc(T)) = n – dim(Im(T))

Ou seja, dim(Nuc (T)) deve ser 1, pois a imagem tem pelo menos dimensão 2, igual a dimensão do autoespaço. Seguindo esse mesmo raciocínio;

Dim(Nuc(T+I)) é 0, pois a imagem teria nesse caso dimensão 3, igual a dimensão do autoespaço, zerando a dimensão do núcleo;

Dim(Nuc(T-I)) deve ser 2, pois a imagem tem pelo menos dimensão 1, igual a dimensão do autoespaço, logo, substituindo esse valor na equação do Teorema, a dimensão seria 2!

Resposta

Autovalores: 0 e 1 ; Dim(Nuc (T)) = 1 ; Dim(Nuc(T+I)) = 0 ; Dim(Nuc(T-I)) =2