Determine os autovalores e a dimensão de N u c ( T ) , N u c ( T + I ) , N u c ( T - I ) se:

T : R 3 → R 3 uma rotação de 180 ° .

Passo 1

E aí, pessoal, bora resolver mais um!!??

Ao aplicarmos a transformação T sobre um vetor v que está sobre o eixo de rotação, obtemos o próprio vetor v . Já se aplicarmos essa transformação sobre um vetor v pertencente ao plano perpendicular ao eixo de rotação, obtemos o vetor - v . Ou seja, T possui os autovalores 1 e - 1 , os quais os autoespaços são o eixo de rotação e o plano perpendicular a esse eixo de rotação, respectivamente.

Passo 2

O N u c ( T ) é o autoespaço de T associado ao autovalor 0 , porém vimos no Passo 1 que 0 não é um autovalor de T , assim d i m d i m   N u c T   = 0 .

O N u c ( T + I ) é composto por vetores v , tais que:

T + I v = 0 ⇒ T v + v = 0 ⇒ T v = - v ⇒ T v = - 1 v

Ou seja, N u c ( T - I ) é o autoespaço associado ao autovalor - 1 , que vimos no Passo 1 que é o plano perpendicular ao eixo de rotação, donde concluímos que d i m d i m   N u c T + I   = 2 .

O N u c ( T - I ) é composto por vetores v , tais que:

T - I v = 0 ⇒ T v - v = 0 ⇒ T v = v ⇒ T v = ( 1 ) v

Ou seja, N u c ( T - I ) é o autoespaço associado ao autovalor 1 , que vimos no Passo 1 que é o eixo de rotação, donde concluímos que d i m d i m   N u c T - I   = 1 .

Resposta

Os autovalores de T são 1 e - 1 .

d i m d i m   N u c T   = 0 , d i m d i m   N u c T + I   = 2 , d i m d i m   N u c T - I   = 1 .