Determine se v é autovetor de A. Em caso positivo, determine o autovalor:

a) v = 1   4   e A = - 3   1   - 3   8   ;

b) v = 4   - 3   1   e A = 3   7   9   - 4   - 5   1   2   4   4  

Passo 1

Salve, galerinha, se liga nessa questão sacana!! Toda a nossa resolução vai se basear em encontrar os autovetores da matriz.

  1. Aplicando det(A−λI) obteremos primeiro os autoVALORES:
  2. A = - 3 - λ   1   - 3   8 - λ   = - 3 - λ 8 - λ - - 3 * 1 = λ 2 - 5 λ - 21

    Desenvolvendo a equação por meio da fórmula de Bhaskara, temos duas raízes distintas que correspondem aos autovalores, sendo:

    λ 1 = - 109 + 5 2       ;       λ 2 = 109 + 5 2

    Passo 2

    Ah mas e agora? Simples, olha só, basta substituir cada uma das raízes na matriz A, logo:

  • λ 1 = - 109 + 5 2
  • A = - 3 - - 109 + 5 2   1   - 3   8 - - 109 + 5 2   = 109 - 11 2   1   - 3   109 + 11 2  

    A matriz obtida é um sistema de equação lineares, lembrar como resolve? É só aplicar eliminação de Gauss, assim obteremos:

    1   - 109 - 11 6   0   0   0   0   , ou seja, { x 1 = 109 + 11 6 * x 2 , portanto a solução é: x 2 = 1   e n t ã o :

    v 1 = 109 + 11 6   1  

  • λ 2 = 109 + 5 2 , basta repetir o mesmo processo de λ 1 , assim:
  • A = - 109 - 11 2   1   - 3   - 109 + 11 2  

    Fazendo eliminação de Gauss em A, temos:

    1   109 - 11 6   0   0   0   0   , ou seja, { x 1 = - 109 + 11 6 * x 2 , portanto a solução é: x 2 = 1   e n t ã o :

    v 2 = - 109 + 11 6   1  

    Beleza beleza, já fizemos os cálculos, agora vamos analisar os resultados...

    Como visto, os valores de v 1   e   v 2 são autoVETORES, maaas eles são diferentes dos autovetores indicados na questão, v = 1   4   , ou seja, v NÃO é resposta da mátria A.

    Passo 3

  • Para o item B, nós resolveremos da mesma forma, logo, Aplicando det(A−λI) obteremos primeiro os autoVALORES:
  • 3 - λ   7   9   - 4   - 5 - λ   1   2   4   4 - λ   = - λ 3 + 2 λ 2 + 17 λ

    Desenvolvendo a equação, nós vamos obter raízes que correspondem aos autovalores:

    λ 1 = 0   ,     λ 2 = - 3 2 + 1   ,   λ 3 = 3 2 + 1

    Passo 4

    Por fim... vamos substituir cada autovalor na matriz A:

  • λ 1 = 0

3 - 0   7   9   - 4   - 5 - 0   1   2   4   4 - 0  

A matriz obtida é um sistema de equação lineares, lembrar como resolve? É só aplicar eliminação de Gauss, assim obteremos:

1   0   - 4   0   1   3   0   0   0   =   { x 1 - 4 x 3 = 0     x 2 + 3 x 3 = 0   = x 1 = 4 x 3   x 2 = - 3 x 3   x 3 = x 3  

Considerando x 3 = 1 , temos que a solução é o autovetor v 1 = 4   - 3   1  

Pera... você percebeu que a gente já viu essa solução? Ela é igual ao autovetor , v = 4   - 3   1   , citado no comando, ou seja, a matriz de fato gera esse autoVetor quando o autovalor é 0.

Resposta

  1. Não é autovetor;
  2. É autovetor quando o autovalor é 0