Determine uma base e dimensão do núcleo e da imagem de:

- 1 1 0 - 2 1 - 1 2 0 2 1 1 2

Passo 1

E aí, gente, bora resolver mais um??!!

Antes de ir para a questão em si, vamos lembrar de dois conceitos importantes:

1- Seja A a matriz que representa uma transformação linear T , segue o seguinte:

O subespaço vetorial I m ( T ) é gerado pelas colunas de A .

O subespaço vetorial N u c ( T ) é composto pelos vetores v que satisfazem A v = 0 .

2- Seja S um conjunto gerador do espaço vetorial V . Se criarmos uma matriz M , a qual suas linhas são os vetores de S , e escalona-la, as linhas não nulas da matriz formarão uma base para V .

Com a teoria em mente, vamos para o exercício.

Passo 2

Podemos ver que I m ( T ) é gerado pelo conjunto { - 1 , - 2,2 , 1 , 1,1 , 0,1 , ( 0 , - 1,2 , 2 ) } . A matriz a qual suas linhas são esses vetores é dada por:

- 1 - 2 2 1 1 1 0 1 0 - 1 2 2

Escalonando-a, obtemos o seguinte:

1 0 2 3 0 1 - 2 - 2 0 0 0 0

Sendo assim, { 1,0 , 2 , 3 , ( 0,1 , - 2 , - 2 ) } é uma base para I m ( T ) , de modo que dim ⁡ I m T = 2 .

Agora, para descobrir N u c ( T ) , precisamos resolver o sistema abaixo:

  - 1 1 0 - 2 1 - 1 2 0 2 1 1 2 x y z = 0 0 0 0

Escalonando a matriz de coeficientes, obtemos o seguinte:

1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0

Portanto, a solução do sistema é dada por x = - z e y = - z na variável livre z , ou seja, N u c T = < - 1 , - 1,1 > , de modo que { - 1 , - 1,1 } é uma base para N u c ( T ) , e assim dim ⁡ N u c T = 1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)