Determine uma base e dimensão do núcleo e da imagem de:
Passo 1
E aí, gente, bora resolver mais um??!!
Antes de ir para a questão em si, vamos lembrar de dois conceitos importantes:
1- Seja a matriz que representa uma transformação linear , segue o seguinte:
O subespaço vetorial é gerado pelas colunas de .
O subespaço vetorial é composto pelos vetores que satisfazem .
2- Seja um conjunto gerador do espaço vetorial . Se criarmos uma matriz , a qual suas linhas são os vetores de , e escalona-la, as linhas não nulas da matriz formarão uma base para .
Com a teoria em mente, vamos para o exercício.
Passo 2
Podemos ver que é gerado pelo conjunto . A matriz a qual suas linhas são esses vetores é dada por:
Escalonando-a, obtemos o seguinte:
Sendo assim, é uma base para , de modo que .
Agora, para descobrir , precisamos resolver o sistema abaixo:
Escalonando a matriz de coeficientes, obtemos o seguinte:
Portanto, a solução do sistema é dada por e na variável livre , ou seja, , de modo que é uma base para , e assim .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)