Determine uma base e a dimensão do subespaço do R 4 , solução do sistema linear

{ x - y + z - w = 0

Passo 1

E aí, pessoal, bora resolver mais um??!!

Temos que o método para descobrir o número de vetores linearmente independentes dentro de um conjunto de vetores { v 1 , … ,   v m } do R n é o seguinte:

1- Criamos uma matriz m × n , em que cada linha i da matriz é formada pelo vetor v i .

2- Escalonamos a matriz.

3- Contamos o número de linhas não nulas (posto) dessa matriz.

O resultado obtido corresponde ao número de vetores linearmente independentes do conjunto.

Com a teoria em mente, vamos para o exercício!!!

Passo 2

A solução do nosso sistema é dada por w = x - y + z , onde x , y e z são variáveis livres. Assim, o nosso conjunto solução S pode ser escrito como:

S = x , y , z , x - y + z = x 1,0 , 0,1 + y 0,1 , 0 , - 1 + z 0,0 , 1,1 =   < 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0 , - 1 , 0,0 , 1,1 >

Logo, o conjunto 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0 , - 1 , 0,0 , 1,1 gera S . Além do mais, é fácil ver que esse conjunto é LI, pois a matriz a qual as linhas correspondem aos vetores já está na forma escalonada e não possui nenhuma linha nula:

1 0 0 1 0 1 0 - 1 0 0 1 1

Sendo assim, podemos concluir que 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0 , - 1 , 0,0 , 1,1 é uma base de S e dim ⁡ S = 3 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)