Determine uma base e a dimensão do subespaço do R 4 , solução do sistema linear

x - y + z - 2 w = 0 2 x + y - z - w = 0 x + 2 y - 2 z + w = 0

Passo 1

E aí, pessoal, bora resolver mais um??!!

Temos que o método para descobrir o número de vetores linearmente independentes dentro de um conjunto de vetores { v 1 , … ,   v m } do R n é o seguinte:

1- Criamos uma matriz m × n , em que cada linha i da matriz é formada pelo vetor v i .

2- Escalonamos a matriz.

3- Contamos o número de linhas não nulas (posto) dessa matriz.

O resultado obtido corresponde ao número de vetores linearmente independentes do conjunto.

Com a teoria em mente, vamos para o exercício!!!

Passo 2

A matriz ampliada do sistema é dada por:

1 - 1 1 - 2 | 0 2 1 - 1 - 1 | 0 1 2 - 2       1 | 0

Escalonando-a, obtemos o seguinte:

1 0 0 - 1 | 0 0 1 - 1       1 | 0 0 0 0       0 | 0

Logo, a solução do nosso sistema é dada por x = w e y = z - w , nas variáveis livres w e z .

Assim, o nosso conjunto solução S pode ser escrito como:

S = w , z - w , z , w = w 1 , - 1,0 , 1 + z 0,1 , 1,0 =   < 1 , - 1,0 , 1 , 0,1 , 1,0 >

Portanto, o conjunto { 1 , - 1,0 , 1 , 0,1 , 1,0 } é gerador de S . Além disso, podemos ver imediatamente que esse conjunto é LI, pois a matriz a qual as linhas correspondem aos vetores já está na forma escalonada e não possui nenhuma linha nula:

1 - 1 0 1 0 1 1 0

Sendo assim, concluímos que { 1 , - 1,0 , 1 , 0,1 , 1,0 } é uma base de S e dim ⁡ S = 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)