Determine uma base para H^(_|_) se:

a. s p a n {(1 , - 3,1 , 2) , (2 , - 1,2 , 0) , (- 4 , - 3 , - 4,4)} sub R^4 ;

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede para determinarmos uma base H^(_|_) , dado que s p a n {(1 , - 3,1 , 2) , (2 , - 1,2 , 0) , (- 4 , - 3 , - 4,4)} sub R^4 ;

Então, antes de realizarmos ela, vamos nos lembrar de como calcularmos o complemento ortogonal em que H sub R^n que vai gerar um sistema homogêneo,

A = [uarr uarr uarr uarr uarr u_1 u_2 cdots cdots u_n darr darr darr darr darr]

Em que dessa forma H = i m (A) e H^(_|_) = n u c ( A^+ )

Passo 2

Agora basta aplicarmos o método para calcular a ortogonal que vai virar um sistema em que,

{ 1 - 3 + 1 + 2 = 0 2 - 1 + 2 + 0 = 0 - 4 - 3 + 4 + 4 = 0 -> { x - 3 y + z + 2 w = 0 2 x - y + 2 w + 0 = 0 - 4 x - 3 y + 4 z + 4 w = 0

Um dos métodos de resolvermos esta matriz que se formou é por escalonamento, e ai sabe como resolver escalonamento? Não? Então vou dar uma breve explicação pra você não erra ela,

O escalonamento ele é determinado a partir de,

d e t A = [a_11 a_12 a_13 a_14 a_21 a_22 a_23 a_24 a_31 a_32 a_33 a_34]_L x J

Ai realizando as devidas transformações no L x j podemos fazer que

L_i harr L_j -> d e t d e t (A^') = - d e t ( A )

L_i larr k L_i -> d e t d e t (A^') = k . d e t ( A )

L_i larr L_i + k L_j -> d e t d e t (A^') = d e t ( A )

Com isso utilizando na nossa matriz vamos ter que,

[2 - 3 1 2 2 - 1 2 0 - 4 - 3 4 4] -> [2 4 0 5 - 1 0 1 0 0 0 0 0] -> {(2,4 , 0,5) , (- 1,0 , 1,0)}

Resposta

{(2,4 , 0,5) , (- 1,0 , 1,0)}