Determine uma bse e a dimensão dos seguinte subespaços de R 4 .

Passo 1

  1. O sistema x + y - w = 0 que representa o hiperplano (x,y,z,w) Є R 4 já está escalonado, portanto, a equação dada tem 4 variáveis do plano e 3 variáveis livres, ou seja, as representadas na equação, logo a dimensão é 3. Se escrevermos a equação em função de x como dependente e y,z,w como livres, teremos:
  2. { y = r   z = s     w = t   x = - r + t    

    Portanto: x , y , z , w = r - 1,1 , 0,0 + s 0,0 , 1,0 + t ( 1,0 , 0,1 ) , logo a base pode ser escrita por: - 1,1 , 0,0 , 0,0 , 1,0 , ( 1,0 , 0,1 )

    Passo 2

  3. O primeiro passo é escrever o sistema como uma matriz e escalonar da seguinte forma:
  4. 1   0   1   0   0   - 1           - 1   1         →         1   0   0   0   0   1           0   - 1  

    Ou seja, temos:

    { x = 0   z - w = 0  

    São duas equações das quatro variáveis (x,y,z,w), portanto, a dimensão é 2. Para obtermos as base, vamos associar à equação x e z como variáveis dependentes e y e z como livres, assim:

    { y = r   w = s     x = 0   z = w = s    

    Portanto: x , y , z , w = r 0,1 , 0,0 + s 0,0 , 1,1 , logo a base pode ser escrita por: 0,1 , 0,0 , 0,0 , 1,1

    Passo 3

  5. O sistema solução já está escalonado, então basta fazermos as análise, das seguintes equações:
  6. { y - 3 z = 0   w = 0  

    São duas equações das quatro variáveis (x,y,z,w), portanto, a dimensão é 2. Para obtermos as base, vamos associar à equação y e w como variáveis dependentes e x e z como livres, assim:

    { x = r   z = s     y = - 3 z = - 3 s   w = 0    

    Portanto: x , y , z , w = r 1,0 , 0,0 + s 0 , - 3,1 , 0 , logo a base pode ser escrita por: 1,0 , 0,0 , 0 , - 3,1 , 0

    Passo 4

  7. A ideia para resolver a letra D é fazer o processo inverso do que nós estávamos fazendo, logo, o primeiro passo é reescrever a equação parametrizada:

= x , y , z , w = r 1,0 , 2,1 + s 2 , - 1,1 , 0 + t ( 1 , - 2 , - 4 - 3 )

Esses termos encontrados vão ser escritos em forma matricial e depois faremos o escalonamento, assim:

Portanto, a contagem das linhas não-nulas da matriz representa a dimensão do espaço que é 2, além disso as linhas também representam a base, logo, 1,0 , 2,1 , 0 , - 1 , - 3 , - 2

Resposta

  1. 3; - 1,1 , 0,0 , 0,0 , 1,0 , ( 1,0 , 0,1 )
  2. 2; 0,1 , 0,0 , 0,0 , 1,1
  3. 2; 1,0 , 0,0 , 0 , - 3,1 , 0
  4. 2; 1,0 , 2,1 , 0 , - 1 , - 3 , - 2