Determine em cada caso se a TL pode ser diagonalizada:

(a) A 4×4 tem três autovalores distintos. Um autoespaço é unidimensional e um dos outros é bidimensional.

(b) T   :   R 5   →   R 5 tem polinômio característico p ( λ )   =   ( λ   -   π ) ( λ   -   e )   2   λ   -   1 3 . Dois dos autoespaços de T são bidimensionais, o outro unidimensional.

Passo 1

Se liga na sagacidade pra saber se uma matriz A nxn qualquer é diagonalizável basta que a soma das dimensões dos autoespaços associados a cada autovalor de A seja n. Pera aí... então nesse caso, a gente vai analisar se os autovetores encontrados, se eles forem n unidades, logo, a matriz A é diagonalizável! Beleza, agora vamos aplicar essa teoria a uma questão:

Passo 2

  1. Aqui no item A, temos uma matriz de 4 dimensões, com 3 autovalores distintos, sendo um autoespaço unidimensional e um dos outros bidimensional, ou seja, aqui nós já temos 3 dimensões e obrigatoriamente são necessários 4 para que seja diagonalizável ( de acordo com a teoria citada no passo 1). Portanto, a matriz de fato pode ser diagonalizável se o outro autovalor for de dimensão mínima 1 !
  2. Passo

  3. O bom do item B é cê bate o olho e já sabe a resposta, considerando que temos uma transformação linear T de dimensão 5 e... o próprio comando diz que temos dois autoespaços bidimensionais e um dimensional. Fazendo as contas certinho, é evidente que T pode ser sim diagonalizável!

Resposta

  1. Pode ser diagonalizável
  2. Pode ser diagonalizável