Determine o centro e o raio das seguintes esferas:

  1. x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 y - 2 z = 10 ;
  2. x 2 + y 2 + z 2 + 2 y - 10 z = 27 ;
  3. 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 - 2 x + 6 y = 6 ;
  4. x 2 + y 2 + z 2 = 3 ;
  5. x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - y = 1 .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede para determinarmos o centro e o raio das esferas dado que,

  1. x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 y - 2 z = 10 ;
  2. x 2 + y 2 + z 2 + 2 y - 10 z = 27 ;
  3. 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 - 2 x + 6 y = 6 ;
  4. x 2 + y 2 + z 2 = 3 ;
  5. x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - y = 1 .

Só vem que vamos resolver opções por opções.

Passo 2

Utilizando o teorema de Pitágoras ao triângulo que é determinado pela fórmula,

x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2

A partir daí podemos resolver as opções dadas,

Na letra (a) sendo,

x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 y - 2 z = 10

x 0 = - a 2 = - 1 r = - 1 2 + - 2 2 + - 1 2 + 10 → r = 16 → r = 4

y 0 = - b 2 = - 2

z 0 = - c 2 = - 1

( - 1 , - 2 , - 1 )

Na letra (b) sendo,

x 2 + y 2 + z 2 + 2 y - 10 z = 27

x 0 = - a 2 = 0 r = 0 2 + - 1 2 + 5 2 + 27   → r = 53

y 0 = - b 2 = - 1

z 0 = - c 2 = 5

( 0 , - 1,5 )

Passo 3

Na letra ( c ) sendo,

2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 - 2 x + 6 y = 6

x 0 = - a 2 = 1 2 r = 1 2 2 + - 3 2 2 + 0 2 + 6 → r = 22 2

y 0 = - b 2 = - 3 2

z 0 = - c 2 = 6

1 2 , - 3 2 , 6

Na letra (d) sendo,

x 2 + y 2 + z 2 = 3 r = 0 2 + 0 2 + 0 2 + 3 →   r = 3

x 0 = - a 2 = 0

y 0 = - b 2 = 0

z 0 = - c 2 = 0

( 0,0 , 0 )

E por fim na letra (e) sendo,

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - y = 1

x 0 = - a 2 = - 1 r = - 1 2 + 1 2 2 + 0 2 + 1 →   r = 3 2

y 0 = - b 2 = 1 2

z 0 = - c 2 = 0

- 1 ,   - 1 2 , 0

Resposta

  1. ( - 1 , - 2 , - 1 ) r = 4
  2. ( 0 , - 1,5 ) r = 53
  3. 1 2 , - 3 2 , 6 r = 22 2
  4. 0,0 , 0   r = 3
  5. - 1 ,   - 1 2 , 0 r = 3 2