Determine os centro das superfícies de raio 14 , que passam por P = ( 1,2 , - 1 ) e são tangentes ao plano 2 x - 3 y + z + 5 = 0 .

Passo 1

Vamos lá! Vamos utilizar uma certa malícia pra tentar entender esse problema. Pra começar, vamos verificar se o ponto P = ( 1,2 , - 1 ) pertence ao plano 2 x - 3 y + z + 5 = 0 :

  2 ⋅ 1   - 3 ⋅ 2   - 1 + 5 = 0   ⇒   7 - 6 - 1   =   0  

Pronto. Então o ponto P   ∈ π e isso quer dizer que uma esfera é simétrica a outra e o plano funciona como um espelho.

Assim, haverá um vetor C P → que vai do centro da esfera C = ( a , b , c ) ao ponto P . Temos,

C P → = P - C   = ( 1,2 , - 1 ) - ( a , b , c ) = ( 1 - a , 2 - b , - 1 - c )  

Passo 2

Vamos observar que esse vetor é paralelo ao vetor normal do plano: n → = ( 2 , - 3,1 ) . Ou seja,

( 1 - a , 2 - b , - 1 - c )   =   k ( 2 , - 3,1 )  

1 - a   =   2 k   ⇒   a   =   1 - 2 k

2 - b   =   - 3 k ⇒   b   =   2 + 3 k

- 1 - c =   k ⇒   c   = - 1 - k

Daí, o ponto que queremos é da seguinte forma:

C   =   ( 1 - 2 k ,     2 + 3 k ,   - 1 - k )

e só precisamos responder aqui, qual o valor de k . Para isso, vamos utilizar da relação entre a distância do centro a um plano tangente à superfície de uma esfera e o raio da esfera:

d ( C , π ) = 14  

⇒ | 2 ⋅ ( 1 - 2 k ) - 3 ⋅ ( 2 + 3 k ) + 1 ⋅ ( - 1 - k ) + 5 | 4 + 9 + 1   =   14

⇒ | 2 - 4 k - 6 - 9 k - 1 - k + 5 | = 14

⇒ | - 14 k | = 14

⇒ 14 k = ± 14

⇒ k =   ± 1

Ou seja, para k   =   1 :

C   = ( 1 - 2 k ,     2 + 3 k ,   - 1 - k ) = ( - 1,5 , - 2 )

e para k   =   - 1 , temos:

C   = ( 1 - 2 k ,     2 + 3 k ,   - 1 - k ) = ( 3 , - 1,0 )

Lembrando que o plano funciona como se fosse um espelho. Por isso, a outra esfera é simétrica a primeira, pois ambas compartilham do mesmo ponto de interseção em um plano.

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Resposta

( - 1,5 , 2 )   o u   ( 3 , - 1,0 ) .