Determine as compostas f ∘ g e g ∘ f , sabendo que f e g são funções de R em R tais que:

f x = x 2 ,   s e   x < 0 2 x ,   s e   x ≥ 0   e   g x = 1 - x ,   s e   x < 1 1 + x ,   s e   x ≥ 1

Passo 1

Fala galera, bora começar esse exercício de matemática discreta!

Vamos escrever as funções como caixa de pilhas, sabendo que não precisamos usar a primeira função de f, x 2 , pois o limite da segunda função compreende as duas de g:

f ∘ g :

f g x = 2 1 - x → 2 - 2 x 2 1 + x → 2 + 2 x

Os limites são os mesmos da função g, então:

f g x = 2 - 2 x ,   s e   x < 1 2 + 2 x ,   s e   x ≥ 1

Passo 2

g ∘ f :

g f x = 1 - x 2 ,   s e - 1 < x < 0 1 + x 2 ,   s e   x ≤ - 1 1 - 2 x ,   s e   0 < x < 1 2 1 + 2 x ,   s e   x ≥ 1 2

E concluímos a primeira parte dos exercícios de função composta!

Resposta

( f ∘ g ) ( x ) = 2 - 2 x ,   s e   x < 1 2 + 2 x ,   s e   x ≥ 1

g ∘ f x = 1 - x 2 ,   s e - 1 < x < 0 1 + x 2 ,   s e   x ≤ - 1 1 - 2 x ,   s e   0 < x < 1 2 1 + 2 x ,   s e   x ≥ 1 2