Determine condições no parâmetro δ para que o sistema associado possua uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução

x + y - z = 2 y + 5 z = 5 x + 2 y + δ z = 7

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Bora resolver mais um!!!

Antes de iniciar o exercício em si, vamos relembrar a relação entre o total de soluções de um sistema linear e o posto da matriz de coeficientes e o da matriz estendida. Sejam A e B a matriz de coeficientes e a matriz estendida, respectivamente, de um sistema linear. São válidas as seguintes afirmações:

1- Se p o s t o A < p o s t o ( B ) o sistema linear não possui solução (trata-se do caso em que o sistema possui uma equação degenerada, ou seja, uma equação da forma 0 x + 0 x = 1 , por exemplo).

2- Se p o s t o A = p o s t o ( B ) e p o s t o A = ( n º   v a r i á v e i s ) o sistema linear possui uma única solução (trata-se do caso em que o sistema não possui nenhuma variável livre).

3- Se p o s t o A = p o s t o ( B ) e p o s t o A < ( n º   v a r i á v e i s ) o sistema linear possui infinitas soluções (nesse caso o grau de liberdade, que é definido como n º   v a r i á v e i s - p o s t o ( A ) , será pelo menos igual 1 , ou seja, o sistema possuirá pelo menos uma variável livre, de modo que teremos infinitas soluções).

Com os conceitos frescos na mente, vamos para a questão!!!

Passo 2

Temos que a matriz estendida do sistema é a seguinte:

1 1 - 1 | 2 0 1 5 | 5 1 2 δ | 7

Escalonando essa matriz, obtemos a matriz abaixo:

1 1 - 1 | 2 0 1 5 | 5 0 0 δ - 4 | 0

Se δ - 4 ≠ 0 , ou seja, se δ ≠ 4 , o posto da matriz de coeficientes será igual ao posto da matriz estendida e o posto da matriz de coeficientes será igual ao número de variáveis do sistema, de modo que o sistema possuirá solução única. Se δ = 4 ficamos com a última linha da matriz nula, resultando que o posto da matriz de coeficientes será igual ao posto da matriz estendida e o posto da matriz de coeficientes será menor do que o número de variáveis do sistema, donde concluímos que o sistema terá infinitas soluções.

Portanto, podemos concluir o seguinte: Se δ ≠ 4   o sistema possui uma única solução e se δ = 4 o sistema possui infinitas soluções.

Resposta

Se δ ≠ 4   o sistema possui uma única solução e se δ = 4 o sistema possui infinitas soluções.