Determine condições no parâmetro δ para que o sistema associado possua uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução

δ x + 2 y = 0 2 x + δ y = 2

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Vamos resolver mais um!!!

Antes de iniciar o exercício em si, vamos relembrar a relação entre o total de soluções de um sistema linear e o posto da matriz de coeficientes e o da matriz estendida. Sejam A e B a matriz de coeficientes e a matriz estendida, respectivamente, de um sistema linear. São válidas as seguintes afirmações:

1- Se p o s t o A < p o s t o ( B ) o sistema linear não possui solução (trata-se do caso em que o sistema possui uma equação degenerada, ou seja, uma equação da forma 0 x + 0 x = 1 , por exemplo).

2- Se p o s t o A = p o s t o ( B ) e p o s t o A = ( n º   v a r i á v e i s ) o sistema linear possui uma única solução (trata-se do caso em que o sistema não possui nenhuma variável livre).

3- Se p o s t o A = p o s t o ( B ) e p o s t o A < ( n º   v a r i á v e i s ) o sistema linear possui infinitas soluções (nesse caso o grau de liberdade, que é definido como n º   v a r i á v e i s - p o s t o ( A ) , será pelo menos igual 1 , ou seja, o sistema possuirá pelo menos uma variável livre, de modo que teremos infinitas soluções).

Com os conceitos frescos na mente, vamos para a questão!!!

Passo 2

Vamos inicialmente tratar do caso δ = 0 separadamente, para que no próximo passo, quando formos escalonar a matriz, possamos garantir que os elementos que são produtos de δ sejam não nulos, de modo a poderem ser pivôs da nossa matriz.

Zerando δ ficamos com o seguinte sistema:

2 y = 0 2 x = 2

O qual podemos ver imediatamente que possui solução única dada por ( 1,0 ) .

Passo 3

Agora, consideramos δ ≠ 0 . Temos que a matriz estendida do sistema é a seguinte:

δ 2 | 0 2 δ | 2

Escalonando essa matriz, obtemos a matriz abaixo:

δ 2 | 0 0 δ 2 - 4 δ | 2

Se δ 2 - 4 δ for diferente de 0 o posto da matriz de coeficientes será igual ao posto da matriz estendida e o posto da matriz de coeficientes será igual ao número de variáveis do sistema, de modo que o sistema possuirá solução única. Já se δ 2 - 4 δ = 0 a equação possuirá uma equação degenerada, e assim o sistema não possuirá solução. Vamos ver para que valor de δ esse último caso ocorre:

δ 2 - 4 δ = 0 ⇔   δ 2 - 4 = 0 ⇔   δ 2 = 4 ⇔ δ = 2 ou δ =   - 2

Sendo assim, podemos concluir o seguinte: Para δ = 2 ou δ =   - 2 o sistema não possui nenhuma solução e para qualquer outro valor real que δ assume o sistema possui uma única solução.

Resposta

Para δ = 2 ou δ =   - 2 o sistema não possui nenhuma solução e para qualquer outro valor real que δ assume o sistema possui uma única solução.