Determine condições no parâmetro para que o sistema associado possua uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução
Passo 1
E aí, pessoal, tudo certo? Vamos encarar mais esse desafio juntos!!!
Antes de iniciar o exercício em si, vamos relembrar a relação entre o total de soluções de um sistema linear e o posto da matriz de coeficientes e o da matriz estendida. Sejam e a matriz de coeficientes e a matriz estendida, respectivamente, de um sistema linear. São válidas as seguintes afirmações:
1- Se o sistema linear não possui solução (trata-se do caso em que o sistema possui uma equação degenerada, ou seja, uma equação da forma , por exemplo).
2- Se e o sistema linear possui uma única solução (trata-se do caso em que o sistema não possui nenhuma variável livre).
3- Se e o sistema linear possui infinitas soluções (nesse caso o grau de liberdade, que é definido como , será pelo menos igual , ou seja, o sistema possuirá pelo menos uma variável livre, de modo que teremos infinitas soluções).
Com os conceitos frescos na mente, vamos para a questão!!!
Passo 2
Vamos inicialmente tratar do caso separadamente, para que no próximo passo, quando formos escalonar a matriz, possamos garantir que os elementos que são produtos de sejam não nulos, de modo a poderem ser pivôs da nossa matriz.
Zerando ficamos com o seguinte sistema:
A matriz estendida desse sistema é dada por:
Escalonando essa matriz ficamos com:
Ou seja, zerando o sistema linear possui uma única solução que é dada por .
Passo 3
Agora, consideramos . Temos que a matriz estendida do sistema é a seguinte:
Escalonando essa matriz, obtemos a matriz abaixo:
Se for diferente de o posto da matriz de coeficientes será igual ao posto da matriz estendida e o posto da matriz de coeficientes será igual ao número de variáveis do sistema, de modo que o sistema possuirá solução única. Então, vamos trabalhar com o caso em que . Primeiramente, vamos descobrir o valor de que satisfaz essa equação:
Dessa maneira, temos que , ou seja, a última linha da matriz representa uma equação degenerada, de modo que o sistema não possui solução.
Portanto, podemos concluir o seguinte: Para o sistema não possui nenhuma solução e para qualquer outro valor real que assume o sistema possui uma única solução.
Resposta
Para o sistema não possui nenhuma solução e para qualquer outro valor real que assume o sistema possui uma única solução.