Determine condições no parâmetro δ para que o sistema associado possua uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução

x + δ y + z = 1 2 x - δ y + 3 z = δ - x + 3 y = - 2

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Vamos encarar mais esse desafio juntos!!!

Antes de iniciar o exercício em si, vamos relembrar a relação entre o total de soluções de um sistema linear e o posto da matriz de coeficientes e o da matriz estendida. Sejam A e B a matriz de coeficientes e a matriz estendida, respectivamente, de um sistema linear. São válidas as seguintes afirmações:

1- Se p o s t o A < p o s t o ( B ) o sistema linear não possui solução (trata-se do caso em que o sistema possui uma equação degenerada, ou seja, uma equação da forma 0 x + 0 x = 1 , por exemplo).

2- Se p o s t o A = p o s t o ( B ) e p o s t o A = ( n º   v a r i á v e i s ) o sistema linear possui uma única solução (trata-se do caso em que o sistema não possui nenhuma variável livre).

3- Se p o s t o A = p o s t o ( B ) e p o s t o A < ( n º   v a r i á v e i s ) o sistema linear possui infinitas soluções (nesse caso o grau de liberdade, que é definido como n º   v a r i á v e i s - p o s t o ( A ) , será pelo menos igual 1 , ou seja, o sistema possuirá pelo menos uma variável livre, de modo que teremos infinitas soluções).

Com os conceitos frescos na mente, vamos para a questão!!!

Passo 2

Vamos inicialmente tratar do caso δ = 0 separadamente, para que no próximo passo, quando formos escalonar a matriz, possamos garantir que os elementos que são produtos de δ sejam não nulos, de modo a poderem ser pivôs da nossa matriz.

Zerando δ ficamos com o seguinte sistema:

x + z = 1 2 x + 3 z = 0 - x + 3 y = - 2

A matriz estendida desse sistema é dada por:

1 0 1 | 1 2 0 3 | 0 - 1 3 0 | - 2

Escalonando essa matriz ficamos com:

1 0 0 | 3 0 1 0 | 1 3 0 0 1 | - 2

Ou seja, zerando δ o sistema linear possui uma única solução que é dada por ( 3 , 1 3 ,   - 2 ) .

Passo 3

Agora, consideramos δ ≠ 0 . Temos que a matriz estendida do sistema é a seguinte:

1       δ 1       1 2 - δ 3       δ - 1       3 0 - 2

Escalonando essa matriz, obtemos a matriz abaixo:

1       δ 1       1 2 - 3 δ 1       δ - 2 0       0 4 δ + 3 3 δ δ 2 - 2 δ - 6 3 δ

Se 4 δ + 3 3 δ for diferente de 0 o posto da matriz de coeficientes será igual ao posto da matriz estendida e o posto da matriz de coeficientes será igual ao número de variáveis do sistema, de modo que o sistema possuirá solução única. Então, vamos trabalhar com o caso em que 4 δ + 3 3 δ = 0 . Primeiramente, vamos descobrir o valor de δ que satisfaz essa equação:

4 δ + 3 3 δ = 0 ⇔ 4 δ + 3 = 0 ⇔ δ =   - 3 4

Dessa maneira, temos que δ 2 - 2 δ - 6 3 δ = 7 4 , ou seja, a última linha da matriz representa uma equação degenerada, de modo que o sistema não possui solução.

Portanto, podemos concluir o seguinte: Para δ = - 3 4   o sistema não possui nenhuma solução e para qualquer outro valor real que δ assume o sistema possui uma única solução.

Resposta

Para δ = - 3 4   o sistema não possui nenhuma solução e para qualquer outro valor real que δ assume o sistema possui uma única solução.