Determine condições no parâmetro δ para que o sistema associado possua uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução

x + 2 y + ( δ + 1 ) z = 2 y + δ 2 z = δ + 1 x + 1 - δ z = 0

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Vamos para o exercício!!!

Antes de iniciar o exercício em si, vamos relembrar a relação entre o total de soluções de um sistema linear e o posto da matriz de coeficientes e o da matriz estendida. Sejam A e B a matriz de coeficientes e a matriz estendida, respectivamente, de um sistema linear. São válidas as seguintes afirmações:

1- Se p o s t o A < p o s t o ( B ) o sistema linear não possui solução (trata-se do caso em que o sistema possui uma equação degenerada, ou seja, uma equação da forma 0 x + 0 x = 1 , por exemplo).

2- Se p o s t o A = p o s t o ( B ) e p o s t o A = ( n º   v a r i á v e i s ) o sistema linear possui uma única solução (trata-se do caso em que o sistema não possui nenhuma variável livre).

3- Se p o s t o A = p o s t o ( B ) e p o s t o A < ( n º   v a r i á v e i s ) o sistema linear possui infinitas soluções (nesse caso o grau de liberdade, que é definido como n º   v a r i á v e i s - p o s t o ( A ) , será pelo menos igual 1 , ou seja, o sistema possuirá pelo menos uma variável livre, de modo que teremos infinitas soluções).

Com os conceitos frescos na mente, vamos para a questão!!!

Passo 2

Temos que a matriz estendida do sistema é a seguinte:

1 2 δ + 1 | 2 0 1 δ 2 | δ + 1 1 0 1 - δ | 0

Escalonando essa matriz, obtemos a matriz abaixo:

1 2 δ + 1 | 2 0 1 δ 2 | δ + 1 0 0 δ ( 2 δ - 2 ) | 2 δ

Se δ ( 2 δ - 2 ) for diferente de 0 o posto da matriz de coeficientes será igual ao posto da matriz estendida e o posto da matriz de coeficientes será igual ao número de variáveis do sistema, de modo que o sistema possuirá solução única. Vamos tratar então do caso δ 2 δ - 2 = 0 . Podemos ver claramente que temos duas opções de δ que satisfazem essa equação. A primeira é δ = 0 , e assim 2 δ = 0 , de modo que ficamos com a última linha da matriz nula, resultando que o posto da matriz de coeficientes será igual ao posto da matriz estendida e o posto da matriz de coeficientes será menor do que o número de variáveis do sistema, donde concluímos que o sistema terá infinitas soluções. A segunda é δ = 1 , e assim 2 δ = 2 , de forma que a última equação do sistema será degenerada, ou seja, o sistema não possuirá solução.

Portanto, podemos concluir o seguinte: Para δ = 0   o sistema possui infinitas soluções, para δ = 1 o sistema não possui nenhuma solução e para qualquer outro valor real que δ assume o sistema possui uma única solução.

Resposta

Para δ = 0   o sistema possui infinitas soluções, para δ = 1 o sistema não possui nenhuma solução e para qualquer outro valor real que δ assume o sistema possui uma única solução.