Determine condições no parâmetro para que o sistema associado possua uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução
Passo 1
E aí, pessoal, tudo certo? Vamos para o exercício!!!
Antes de iniciar o exercício em si, vamos relembrar a relação entre o total de soluções de um sistema linear e o posto da matriz de coeficientes e o da matriz estendida. Sejam e a matriz de coeficientes e a matriz estendida, respectivamente, de um sistema linear. São válidas as seguintes afirmações:
1- Se o sistema linear não possui solução (trata-se do caso em que o sistema possui uma equação degenerada, ou seja, uma equação da forma , por exemplo).
2- Se e o sistema linear possui uma única solução (trata-se do caso em que o sistema não possui nenhuma variável livre).
3- Se e o sistema linear possui infinitas soluções (nesse caso o grau de liberdade, que é definido como , será pelo menos igual , ou seja, o sistema possuirá pelo menos uma variável livre, de modo que teremos infinitas soluções).
Com os conceitos frescos na mente, vamos para a questão!!!
Passo 2
Temos que a matriz estendida do sistema é a seguinte:
Escalonando essa matriz, obtemos a matriz abaixo:
Se for diferente de o posto da matriz de coeficientes será igual ao posto da matriz estendida e o posto da matriz de coeficientes será igual ao número de variáveis do sistema, de modo que o sistema possuirá solução única. Vamos tratar então do caso . Podemos ver claramente que temos duas opções de que satisfazem essa equação. A primeira é , e assim , de modo que ficamos com a última linha da matriz nula, resultando que o posto da matriz de coeficientes será igual ao posto da matriz estendida e o posto da matriz de coeficientes será menor do que o número de variáveis do sistema, donde concluímos que o sistema terá infinitas soluções. A segunda é , e assim , de forma que a última equação do sistema será degenerada, ou seja, o sistema não possuirá solução.
Portanto, podemos concluir o seguinte: Para o sistema possui infinitas soluções, para o sistema não possui nenhuma solução e para qualquer outro valor real que assume o sistema possui uma única solução.
Resposta
Para o sistema possui infinitas soluções, para o sistema não possui nenhuma solução e para qualquer outro valor real que assume o sistema possui uma única solução.