Determine condições nos parâmetros ( δ ,   β ) para que o sistema associado possua uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução

x - y + z = - 1 x + y - z = 1 3 x - y + z = - 1 x + y + β - 1 z = δ

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Vamos para o exercício!!!

Antes de iniciar o exercício em si, vamos relembrar a relação entre o total de soluções de um sistema linear e o posto da matriz de coeficientes e o da matriz estendida. Sejam A e B a matriz de coeficientes e a matriz estendida, respectivamente, de um sistema linear. São válidas as seguintes afirmações:

1- Se p o s t o A < p o s t o ( B ) o sistema linear não possui solução (trata-se do caso em que o sistema possui uma equação degenerada, ou seja, uma equação da forma 0 x + 0 x = 1 , por exemplo).

2- Se p o s t o A = p o s t o ( B ) e p o s t o A = ( n º   v a r i á v e i s ) o sistema linear possui uma única solução (trata-se do caso em que o sistema não possui nenhuma variável livre).

3- Se p o s t o A = p o s t o ( B ) e p o s t o A < ( n º   v a r i á v e i s ) o sistema linear possui infinitas soluções (nesse caso o grau de liberdade, que é definido como n º   v a r i á v e i s - p o s t o ( A ) , será pelo menos igual 1 , ou seja, o sistema possuirá pelo menos uma variável livre, de modo que teremos infinitas soluções).

Com os conceitos frescos na mente, vamos para a questão!!!

Passo 2

Temos que a matriz estendida do sistema é a seguinte:

1 - 1 1 | - 1 1 1 - 1 | 1 3 - 1 1 | - 1 1 1 β - 1 | δ

Escalonando essa matriz, obtemos a matriz abaixo:

1 - 1 1 | - 1 0 2 - 2 | 2 0 0 β | δ - 1 0 0 0 | 0

Se β ≠ 0 o posto da matriz de coeficientes será igual ao posto da matriz estendida e o posto da matriz de coeficientes será igual ao número de variáveis do sistema, de modo que o sistema possuirá solução única. Se β = 0 e δ - 1 = 0 , ou seja, δ = 1 , ficamos com a última linha da matriz nula, resultando que o posto da matriz de coeficientes será igual ao posto da matriz estendida e o posto da matriz de coeficientes será menor do que o número de variáveis do sistema, donde concluímos que o sistema terá infinitas soluções. Se β = 0 e δ - 1 ≠ 0 , ou seja, δ ≠ 1 , a última equação do sistema será degenerada, ou seja, o sistema não possuirá solução.

Portanto, podemos concluir o seguinte: Se β ≠ 0   o sistema possui uma única solução independentemente do valor de δ , se β = 0 e δ = 1 o sistema possui infinitas soluções e se β = 0 e δ ≠ 1 o sistema não possui solução.

Resposta

Se β ≠ 0   o sistema possui uma única solução independentemente do valor de δ , se β = 0 e δ = 1 o sistema possui infinitas soluções e se β = 0 e δ ≠ 1 o sistema não possui solução.