Determine a decomposição espectral de T se:

(a) T   :   R 3   →   R 3 uma projeção ortogonal no plano x − 2y − z = 0

Passo 1

Mas o que é esse tal de decomposição espectral? Bom, é simplesmente a matriz reescrita na forma   P D P - 1 . Para isso, temos que achar os autovalores e autovetores da transformação linear.

Uma regrinha booa demais pra decorar é que quando temos uma projeção ortogonal, obrigatoriamente, os autovalores são 0 e 1. Por exemplo, o autovalor 1 está associado aos autovetores que fazem parte do plano em que estamos projetando. Os vetores do plano têm a seguinte carinha:

x = 2 y + z

2 y + z , y , z = y 2,1 , 0 + z ( 1,0 , 1 )

Logo, temos os autovetores (2,1,0) e (1,0,1) associados ao autovalor 1.

Quando ao autovetor associado ao autovalor 0, será o vetor gerador da reta ortogonal ao plano. Este tem suas coordenadas dadas pelos coeficientes da equação do plano:

x - 2 y - z = 0       →       ( 1 , - 2 , - 1 )

Logo, (1,-2,-1) é autovetor associado ao autovalor 0.

Passo 2

Agora vamos montar as matrizes:

D = 1   0   0   0   1   0   0   0   0    

P = 2   1   1   1   0   - 2   0   1   - 1  

E a decomposição espectral é:

P D P - 1 = 2   1   1   1   0   - 2   0   1   - 1   1   0   0   0   1   0   0   0   0   2   1   1   1   0   - 2   0   1   - 1   - 1

Resposta

P D P - 1 = 2   1   1   1   0   - 2   0   1   - 1   1   0   0   0   1   0   0   0   0   2   1   1   1   0   - 2   0   1   - 1   - 1