Determine a decomposição espectral de T se:
(a) uma projeção ortogonal no plano x − 2y − z = 0
Passo 1
Mas o que é esse tal de decomposição espectral? Bom, é simplesmente a matriz reescrita na forma. Para isso, temos que achar os autovalores e autovetores da transformação linear.
Uma regrinha booa demais pra decorar é que quando temos uma projeção ortogonal, obrigatoriamente, os autovalores são 0 e 1. Por exemplo, o autovalor 1 está associado aos autovetores que fazem parte do plano em que estamos projetando. Os vetores do plano têm a seguinte carinha:
Logo, temos os autovetores (2,1,0) e (1,0,1) associados ao autovalor 1.
Quando ao autovetor associado ao autovalor 0, será o vetor gerador da reta ortogonal ao plano. Este tem suas coordenadas dadas pelos coeficientes da equação do plano:
Logo, (1,-2,-1) é autovetor associado ao autovalor 0.
Passo 2
Agora vamos montar as matrizes:
E a decomposição espectral é: