Determine a decomposição espectral de T se:
(b) uma projeção ortogonal em H = (1, 2, 3, 4),(2, 3, 4, 5).
Passo 1
E o nosso primeiro passo é... advinha aí! Encontrar os autovalores e autovetores, não tem jeito mesmo hahahaha.
Sobre os autovalores, a gente pode lembrar de uma regrinha universal muuuuito útil, toda vez que tivermos uma projeção, os autovalores são 0 e 1. Como estamos projetando no plano gerados pelos vetores (1,2,3,4) e (2,3,4,5), eles serão autovetores associados ao autovalor 1.
Já o autoespaço associado ao autovalor 0 será o plano ortogonal à esse plano (lembrar que estamos no ). Para gerar esse plano, precisamos de dois vetores linearmente independentes a (1,2,3,4) e a (2,3,4,5). Chamando esse vetor que queremos achar de (x,y,z,w), temos:
Passo 2
Fazendo 2(I)-(II):
Substituindo em (I):
Logo, os vetores desse plano são desse tipo:
Entãooo, temos os autovetores (1,-2,1,0) e (2,-3,0,1) associados ao autovalor 0.
Passo 3
Agora vamos montar as matrizes:
E a decomposição espectral é: