Determine a decomposição espectral de T se:

(b) T   :   R 4   →   R 4 uma projeção ortogonal em H = (1, 2, 3, 4),(2, 3, 4, 5).

Passo 1

E o nosso primeiro passo é... advinha aí! Encontrar os autovalores e autovetores, não tem jeito mesmo hahahaha.

Sobre os autovalores, a gente pode lembrar de uma regrinha universal muuuuito útil, toda vez que tivermos uma projeção, os autovalores são 0 e 1. Como estamos projetando no plano gerados pelos vetores (1,2,3,4) e (2,3,4,5), eles serão autovetores associados ao autovalor 1.

Já o autoespaço associado ao autovalor 0 será o plano ortogonal à esse plano (lembrar que estamos no R 4 ). Para gerar esse plano, precisamos de dois vetores linearmente independentes a (1,2,3,4) e a (2,3,4,5). Chamando esse vetor que queremos achar de (x,y,z,w), temos:

{ x + 2 y + 3 z + 4 w = 0       ( I )   2 x + 3 y + 4 z + 5 w = 0       ( I I )  

Passo 2

Fazendo 2(I)-(II):

y + 2 z + 3 w = 0       →       y = - 2 z - 3 w

Substituindo em (I):

x + 2 - 2 z - 3 w + 3 z + 4 w = 0

x - z - 2 w = 0       →       x = z + 2 w

Logo, os vetores desse plano são desse tipo:

z + 2 w , - 2 z + 3 w , z , w ) = z ( 1 , - 2,1 , 0 ) + w ( 2 , - 3,0 , 1 )

Entãooo, temos os autovetores (1,-2,1,0) e (2,-3,0,1) associados ao autovalor 0.

Passo 3

Agora vamos montar as matrizes:

D = 1   0   0   1     0   0   0   0     0   0   0   0     1   0   0   1      

P = 1   2   2   3     1   2   - 2   - 3     3   4   4   5     1   0   0   1    

E a decomposição espectral é:

P D P - 1 = 1   2   2   3     1   2   - 2   - 3     3   4   4   5     1   0   0   1     1   0   0   1     0   0   0   0     0   0   0   0     1   0   0   1     1   2   2   3     1   2   - 2   - 3     3   4   4   5     1   0   0   1     - 1

Resposta

P D P - 1 = 1   2   2   3     1   2   - 2   - 3     3   4   4   5     1   0   0   1     1   0   0   1     0   0   0   0     0   0   0   0     1   0   0   1     1   2   2   3     1   2   - 2   - 3     3   4   4   5     1   0   0   1     - 1