Determine dim(Nuc(T)) sabendo que:

a) T: V → W com T sobrejetiva, dim(V)=5, dim(W)=3

b) T: R 4 R 4 sabendo que existe a inversa de T.

Passo 1

Oi oi, camarada! Vamos destruir essa questão??

  1. Para resolvermos a letra A, basta lembrar do Teorema do Núcleo e da Imagem, de acordo com a questão T é sobrejetiva, ou seja, seu posto dim (Im(T)) = dim(W) = 3. Assim, usando a TNI, sabemos que a dimensão do núcleo de T, dim(Nuc(T)), pode ser calculada por:
  2. Dim (Nuc(T)) = dim (V) – dim Im(T) → Dim (Nuc(T)) = 5 – 3 = 2

    Passo 2

  3. Para resolver a letra B, bastaria lembrar que uma função que possui inversa é também injetiva. Sendo assim, de acordo com Teorema do Núcleo e da Imagem, funções injetoras tem núcleo zerado, logo: dim(Nuc(T)) = 0.

Resposta

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