Determine a distância do ponto ( 2 ,   1 ,   3 ) a cada um dos planos

a ) x   -   2 y   +   z   =   1 ;

b)   x   +   y   -   z   =   0 ;

c)   x   -   5 z   =   8 .

Passo 1

Para determinarmos a distância D do ponto P ( x 0 , y 0 , z 0 ) ao plano a x + b y + c z + d = 0 temos a equação: D = | a x 0 + b y 0 + c z 0 + d | a 2 + b 2 + c 2

a ) x   -   2 y   +   z   =   1 e P ( 2 ,   1 ,   3 ) :

Substituindo os valores a = 1 , b = - 2 , c = 1 ,   d = - 1   e   x 0 = 2 , y 0 = 1 , z 0 = 3   temos:

D = | 2 - 2 + 3 - 1 | 1 1 + ( - 2 ) 2 + 1 2 = 2 6 = 2 6 6 = 6 3

Passo 2

b)   x   +   y   -   z   = 0   e P ( 2 ,   1 ,   3 ) :

Substituindo os valores a = 1 , b = 1 , c = - 1 ,   d = 0   e   x 0 = 2 , y 0 = 1 , z 0 = 3   temos:

D = | 2 + 1 - 3 | 1 1 + 1 1 + ( - 1 ) 2 = 0 3 = 0

Ou seja, este ponto pertence a este plano.

Passo 3

c)   x   -   5 z   =   8 e P ( 2 ,   1 ,   3 )

Substituindo os valores a = 1 , b = 0 , c = - 5 ,   d = - 8   e   x 0 = 2 , y 0 = 1 , z 0 = 3   temos:

D = | 1 + 0 + - 15 | 1 2 + 0 2 + ( - 5 ) 2 = 14 26 = 14 26 26 = 7 26 13

Resposta

a) 6 3

b) 0

c) 7 26 13