Determine a distância do ponto P   =   ( 3 , - 2,5 ) à reta dada pelos pontos A = ( 2,1 , 2 ) e B = ( 3 , - 1,4 ) .

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo bem com vocês? Então, vamos começar determinando a reta dada pelos pontos A = ( 2,1 , 2 ) e B = ( 3 , - 1,4 ) . Vamos considerar que a reta inicia em A = ( 2,1 , 2 ) . Além disso, o vetor diretor dessa reta será no mesmo sentido do vetor A B → :

A B → = B - A = ( 3 , - 1,4 ) - ( 2,1 , 2 ) = ( 1 , - 2,2 )

com isso, as equações paramétricas da reta serão:

A B :   x = 2 + m ,   y = 1 - 2 m ,   z = 2 + 2 m

Sendo assim, qualquer ponto dessa reta pode ser escrito como Q = ( 2 + m , 1 - 2 m , 2 + 2 m ) .

Passo 2

Agora, queremos obter um vetor P Q → que seja perpendicular a A B → , porque assim garantimos que | P Q → | é a distância que queremos. Temos

P Q → = Q - P = ( 2 + m , 1 - 2 m , 2 + 2 m ) -   ( 3 , - 2,5 )

P Q → =   ( m - 1,3 - 2 m , 2 m - 3 )

Vamos usar a condição de ortogonalidade

P Q → ⋅ A B → = 0 ⇒   ( m - 1,3 - 2 m , 2 m - 3 ) ⋅ ( 1 , - 2,2 ) = 0

⇒ m - 1 - 6 + 4 m + 4 m - 6 = 0 ⇒ 9 m - 13 = 0

⇒ m = 13 9

Passo 3

Pronto, agora voltamos no vetor P Q → e substituímos m = 13 9 :

P Q → =   ( m - 1,3 - 2 m , 2 m - 3 ) = ( 13 9 - 1,3 - 26 9 , 26 9 - 3 ) = ( 4 9 , 1 9 , - 1 9 )

P Q → = ( 4 9 , 1 9 , - 1 9 )

O módulo desse vetor dá exatamente a distância do ponto P a reta A B :

d = | P Q → | = 16 81 + 1 81 + 1 81 = 18 81 = 2 9 = 2 3

Resposta

d = 2 3